MATHEMATICA 組込みシンボル

MomentGeneratingFunction

記号分布 dist のモーメント母関数を変数 t の関数として与える．

多変量記号分布 dist のモーメント母関数を変数

,

, ...の関数として与える．

詳細

MomentGeneratingFunctionはExpectation[Exp[t x], xdist]と等価である．

MomentGeneratingFunctionはベクトル t と x についてExpectation[Exp[t.x], xdist]と等価である．

i 次モーメントはSeriesCoefficient[mgf, {t, 0, i}]i!によってモーメント母関数 mgf から抽出することができる．

例題

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例 (3)

一変量連続分布のモーメント母関数を計算する：

一変量離散分布のモーメント母関数：

多変量分布のモーメント母関数：

一変量連続分布のモーメント母関数を計算する：

In[1]:=

Out[1]=

一変量離散分布のモーメント母関数：

In[1]:=

Out[1]=

多変量分布のモーメント母関数：

In[1]:=

Out[1]=

スコープ (4)

式の分布のモーメント母関数を計算する：

確率変数の関数のモーメント母関数を求める：

データ分布のモーメント母関数を求める：

打切り分布のモーメント母関数を計算する：

アプリケーション (3)

確率変数の総和のモーメント母関数を求める：

これが母関数の積と等しいことを確認する：

のとき，これはBinomialDistributionのモーメント母関数と一致する：

TransformedDistributionで確かめる：

モーメント母関数から正の実数の確率変数の確率密度関数を再構築する：

結果を検証する：

PoissonDistributionの例題で中心極限定理を説明する：

標準化された確率変数のモーメント母関数を求める：

で再スケールされた

個の標準化された確率変数のモーメント母関数を求める：

大きい

極限を求める：

標準正規分布のモーメント母関数と比較する：

特性と関係 (5)

MomentGeneratingFunctionは

のExpectationに等しい：

MomentGeneratingFunctionは一連のモーメントの指数母関数である：

SeriesCoefficientを使ってモーメント

を求める：

Momentを直接使う：

MomentGeneratingFunctionは正の確率変数に対するLaplaceTransformである：

MomentGeneratingFunctionは離散的な正の確率変数に対するZTransformである：

考えられる問題 (2)

裾部の重い分布ではいくつかの低次モーメントが定義されるだけである：

相応に，MomentGeneratingFunctionは定義されない：

CharacteristicFunctionの解析接続が定義できることがある：

MomentGeneratingFunctionは閉形式の場合は常に分かる訳ではない：

Momentを使って特定のモーメントを評価する：

おもしろい例題 (1)