MATHEMATICA 組込みシンボル

Orthogonalize

ベクトル

を直交させることによって見付かる正規直交基底を返す．

Orthogonalize

内積関数 f と正規直交する

の基底を返す．

詳細

Orthogonalizeは，内積として通常のスカラー積を用いる．

Orthogonalizeの出力は常に入力と同じ数のベクトルを含んでいる．入力ベクトルの中に線形非依存ではないものがある場合，出力にはゼロベクトルが含まれる．

出力中の非ゼロベクトルはすべて単位長に正規化される．

内積関数 f は，の線形結合のペアに適用される．

は f が常に実数の結果を与える任意の式でよい．

Orthogonalize[{v₁, v₂, ...}, Dot]は，実質的にの要素はすべて実数であるとみなす．

Orthogonalizeはデフォルトでグラム・シュミット(Gram-Schmidt)基底を生成する．

Methodオプションの設定値を変えることで，他の基底を得ることができる．可能な設定値には，，，等がある．

Orthogonalize[list, Tolerance->t]は相対的なノルムが t よりも下になるゼロ要素に設定する．

例題

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例 (1)

2つの3Dベクトルの正規直交基底を求める：

この基底についての一般的なベクトルの係数を求める：

2つの3Dベクトルの正規直交基底を求める：

In[1]:=

Out[1]=

この基底についての一般的なベクトルの係数を求める：

In[2]:=

Out[2]=

スコープ (2)

厳密演算で正規直交基底を求める：

機械演算を使う：

25桁精度演算を使う：

複素ベクトルを直交化する：

一般化と拡張 (2)

すべての変数が実数であると仮定して記号的な基底を求める：

記号的なスカラー積を持つ記号式を直交化する：

オプション (3)

許容点以下では，2つのベクトルは線形に非依存だとは認識されない：

はほぼ線形依存の1組のベクトルを形成する：

デフォルトのアルゴリズムについて正規直交性からの偏差：

すべてのアルゴリズムについての偏差：

大規模数値行列の場合は，一般に自記法が最速である：

アプリケーション (1)

のベキ乗を正規直交化して正規化されたルジャンドル(Legendre)の多項式を派生させる：

正規化されたエルミート(Hermite)の多項式を派生させる：

特性と関係 (6)

次元では，正規直交基底には最高で

個の要素がある：

ランダムな

次元のベクトル集合のほとんどは，厳密に

基底ベクトルだけスパンされる：

デフォルトのメソッドでは，基底の最初の要素は常に最初のベクトルの倍数である：

線形非依存のベクトルの場合，結果は正規直交集合である：

行列の乗算を使って証明する：

線形非依存のベクトルの場合，結果は与えられた内積に正規直交する集合である：

正規直交性を検証する：

Orthogonalize[m]はQRDecomposition[Transpose[m]]に関連する：

両者は符号まで同じである：