MATHEMATICA 内置符号

Orthogonalize

对向量

进行正交，给出一个正交基.

Orthogonalize

按内积函数 f，给出

的正交基.

更多信息

Orthogonalize 用普通的标量积作为一个内积.

Orthogonalize 的输出通常包括和输入相同数目的向量. 如果一些输入向量不是线性无关的，输出则包含零向量.

所有输出的非零向量都已规范成单位向量.

内积函数 f 适用于的各种线性组合组成的对.

可以为任意的使 f 产生实数结果的表达式.

Orthogonalize[{v₁, v₂, ...}, Dot] 认为所有的元素是实数.

Orthogonalize 默认生成一个 Gram-Schmidt（格莱姆-施密特）正交基.

Method 选项的设置可以获得其它类型的基. 可以选择的设置包括：，，和 .

Orthogonalize[list, Tolerance->t] 给出相对范数低于 t 的零元素.

范例

关闭所有单元

例 (1)

求两个三维向量的正交基：

求一个普通向量相应于正交基的系数：

求两个三维向量的正交基：

In[1]:=

Out[1]=

求一个普通向量相应于正交基的系数：

In[2]:=

Out[2]=

范围 (2)

用一个明确的数学算法求解一个正交基：

用机器算法：

用25位有效数字的精度：

正交化复数向量：

推广和延伸 (2)

求一个符号基，假定所有变量都是实数：

用一个符号的标量积对符号表达式正交化处理：

选项 (3)

小于公差，两个向量不认为是线性无关的：

组成一系列线性无关的向量：

在默认的方式下，标准正交的偏移：

所有方式下的偏移：

对于一个大型数值矩阵，Householder 方式非常快：

应用 (1)

通过正交

的幂，生成正交的 Legendre 多项式：

生成正交的 Hermite（勒让德）多项式：

属性和关系 (6)

在

维空间内，标准正交基最多有

个元素：

多数随机的

维向量集可以根据

维正交基展开：

在默认方式下，基的第一元素通常是第一个向量的倍数：

对于线性无关的向量，计算结果是一个标准正交集合：

用矩阵乘法来检验：

对于线性无关的向量，计算结果是由一个内积给出的正交集合：

检验标准正交：

Orthogonalize[m] 与 QRDecomposition[Transpose[m]] 的联系：

不考虑符号，它们相同：

参见

Projection Normalize Cross Dot Inner QRDecomposition LinearSolve

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