MATHEMATICA 組込みシンボル

PositiveDefiniteMatrixQ

PositiveDefiniteMatrixQ[m]
m が正定値行列かどうかテストする．

詳細

PositiveDefiniteMatrixQ[m]は，m が明示的に正定値である場合はTrueを返し，これが正定値ではない行列の場合はFalseを返す．

エルミート(Hermit)行列 m は，すべての固有値が正である場合にのみ正定値行列であるとみなされる．

PositiveDefiniteMatrixQはSparseArrayオブジェクトに使うことができる．

PositiveDefiniteMatrixQは数値行列と記号行列の両方に使うことができる．

例題

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例 (1)

行列が明示的に正定値行列であるかどうかテストする：

これは，すべてのベクトル

について二次形式が

であることを意味している：

行列が明示的に正定値行列であるかどうかテストする：

In[1]:=

In[2]:=

Out[2]=

これは，すべてのベクトル

について二次形式が

であることを意味している：

In[3]:=

Out[3]=

スコープ (5)

機械数の行列をテストする：

複素数の行列をテストする：

任意精度数の行列をテストする：

厳密な数値の行列をテストする：

疎行列をテストする：

一般化と拡張 (1)

記号の項を持つ行列をテストする：

記号パラメータのすべての可能な複素値について真でない限り検定するとFalseが返される：

特性と関係 (4)

すべての固有値が正である場合にのみエルミート行列は正定値行列である：

の固有値はすべて正である：

ゆえに

は正定値行列である：

行列

は，そのエルミート部分

が正定値である場合にのみ正定値行列である：

エルミート部分が正の固有値を持っているので，この行列は正定値行列である：

ゆえに，

は正定値行列である：

これは，

の固有値が必ずしも正であることを意味しない点に注意のこと：

正定値のエルミート行列はCholeskyDecompositionで与えられる平方根を持つ：

の平方根は

であるような行列

である：

最小値の十分条件はゼロの傾斜と正定値のヘッシアン(Hessian)である：

変数5つまでの条件をチェックする：

考えられる問題 (1)

行列の精度で正定値性が確かでない場合，テストはFalseを返す：

ヒルベルト(Hilbert)行列は正定値である：

最小の固有値は機械精度で確実に正となるのには小さすぎる：

機械精度では，この行列は正定値ではない：

精度を十分に高くして正性を解決するとうまくいく：