MATHEMATICA 組込みシンボル

RiccatiSolve

連続代数リッカチ(Riccati)方程式

の安定化解である行列

を与える．

RiccatiSolve

方程式

を解く．

詳細

の「」は共役転置を示す．

が安定化可能でが検出可能，でのとき，方程式には一意的で対称な半正定値解がある．これにより，行列の固有値はすべて負で解は安定化される．

が可制御でが可観測のとき，解は正定値である．

ハミルトン(Hamilton)行列の固有値は記号式を含んでいてはならない．

RiccatiSolveはMethodオプションをサポートする．次の明示的な設定値を指定することができる．

	"Eigensystem"	固有値分解を使う
	"Schur"	シューア(Schur)分解を使う

デフォルトで，固有値分解を使って解が得られる．

Methodの設定は近似値行列にのみ使うことができる．

例題

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例 (1)

連続代数リッカチ方程式を解く：

解を証明する：

連続代数リッカチ方程式を解く：

In[1]:=

In[2]:=

Out[2]=

解を証明する：

In[3]:=

Out[3]=

スコープ (3)

連続リッカチ方程式を解く：

状態制御カップリングのリッカチ方程式を解く：

状態空間モデルオブジェクトから適切な行列を抽出することでリッカチ方程式を解く：

オプション (2)

固有値分解法は厳密な系にも厳密ではない系にも使うことができる：

厳密ではない系にはシューア分解が使われることもある：

アプリケーション (3)

線形化された倒立振子の最適軌道に関連した費用を計算する：

数値積分で費用を得る：

最適軌道に沿って各インスタンスの「cost-to-go（かかる費用）」を追跡する：

すべての閉ループ極が必ず

の左側になる最適化状態フィードバックゲインを計算する：

安定化のための規定の次数がない閉ループ極：

Kalman推定器の最小誤差共分散を計算する：

特性と関係 (9)

RiccatiSolve

はRiccatiSolve

{a-b.Inverse[r].ConjugateTranspose[p], b}, {q-p.Inverse[r].ConjugateTranspose[p], r}]に等しい：

が安定化可能，

が検出可能で q=Transpose[g].g であれば，リッカチ方程式の解は半正定値である：

が可制御，

が可観測であり q=Transpose[g].g であれば，リッカチ方程式の解は正定値である：

ハミルトン行列

の固有値は

の形式のペアである：

と

は相似行列である：

リッカチ方程式の安定化解を求めるためにはハミルトン行列は安定性特性と相補性特性を満足しなければならない：

安定性特性：

相補性特性：

安定化解：

のフィードバック系の固有値はハミルトン行列の安定した固有値である：

RiccatiSolveを使って最適化状態フィードバックゲインを計算する：

LQRegulatorGainsを使って同じ結果を直接計算する：

RiccatiSolveを使って最適化出力フィードバックゲインを計算する：

LQOutputRegulatorGainsも同じ結果を与える：

RiccatiSolveを使って最適化推定器ゲインを計算する：

LQEstimatorGainsを使ってこの結果を直接計算する：

考えられる問題 (2)

が安定化可能ではなく

が検出可能でなければ，

のリッカチ方程式には安定化解はない：

シューア分解法は近似数値行列のみに使うことができる：