MATHEMATICA 組込みシンボル

Root

多項方程式

の厳密に k

次の根を表す．

Root

近傍における一般方程式

の厳密解を表す．

Root

近傍における方程式

の n 個の根を表す．

詳細

f は，例えば，のようなFunctionオブジェクトでなければならない．

Rootは，f が可能な限り最小の次数を取り，また最小の整数の係数を持つように自動的に簡約される．

Rootで採用される順序としては，実数の根が複素数の根の手前に，また根の共役複素数ペアが隣り合うように置く順序が使われる．

多項式の係数には記号的なパラメータを使うことができる．

線形で二次の多項式に対するRootは，自動的に明示的な有理式または根号の形に簡約される．

その他の多項式については，明示的な根号への変換にToRadicalsを使うことができる．

Rootは一般方程式の厳密解を表す．方程式は超越方程式でもよい．

Rootにおいて，は少なくともの根の厳密に1つがその精度で定義された数値範囲内になるような近似実数または近似複素数でなければならない．

Rootはの精度で定義された数値範囲内にある重複を数えた n 個の根を表す．

Rootオブジェクトの近似数値はNを適用することで求めることができる．

Rootオブジェクトに対しAbs，Re，RoundそしてLess等の操作を行うことができる．

Rootは，f が記号的なパラメータを取らなければ数値的な量として扱われる．

Rootは，デフォルトで，有効な数値メソッドを使って多項式の複素根を分離する．SetOptions[Root, ExactRootIsolation->True]とすると，Rootはより時間のかかる記号的メソッドを使う．

例題

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例 (2)

五次方程式の解：

数値による値：

指数対数方程式の実数解：

五次方程式の解：

In[1]:=

Out[1]=

数値による値：

In[2]:=

Out[2]=

指数対数方程式の実数解：

In[1]:=

Out[1]=

スコープ (11)

ある種の厳密値は自動的に生成される：

高精度で評価する：

多項式の根：

指数対数関数の実根：

境界領域の解析関数の根：

三重根：

記号係数を持つ多項式の根：

記号係数を持つ二次方程式の根：

a，b，c と根が実数の場合，根は常に値の順に並べられる：

二次方程式の根の「標準」の式は根の並べ方を保証しない：

パラメータに対して級数を求める：

根の複雑な要素：

厳密な比較：

一般化と拡張 (2)

代数的係数は自動的に整数に上げられる：

分岐点のPuiseux級数を求める：

オプション (1)

の設定値はRootオブジェクトの第3引数に反映される：

根の分離は最初に根の数値が必要になったときに行われる：

記号的な複素根分離メソッドは有効な数値によるものより一般に時間がかかる：

根分離メソッドは非実根の順番に影響を与えることがある：

アプリケーション (16)

閉じた形の任意次数の整方程式をRootに関して解く：

ヒルベルト(Hilbert)行列の特性方程式を解く：

Eigenvaluesを使う：

パラメータ化された多項式の最小値を求める：

任意の次数の定数係数微分方程式を解く：

区分関数を解く：

一変数指数対数方程式と不等式を実数上で解く：

一変数初等関数方程式を境界区間と領域上で解く：

一変数解析方程式を境界区間と領域上で解く：

高次数の疎な多項式と代数関数の実根を求める：

一変数超越最適化問題を解く：

指数対数の不等式条件を持つ区分関数を積分する：

固い六角形のエントロピー定数を評価する：

ケプラー(Kepler)の方程式を解く：

ラプラス(Laplace)の極限定数を計算する：

根をパラメータの関数としてプロットする：

特性と関係 (7)

Rootオブジェクトから多項式を抽出する：

方程式の陰解の級数展開：

RootReduceを使って代数的数を標準化する：

Rootオブジェクトを組み合せたものを簡約する：

Rootオブジェクト中のパラメータについての方程式を簡約する：

RootApproximantを使って数字からRootオブジェクトを生成する：

根は数式である：

考えられる問題 (4)

分岐点における級数は全方向に有効ではないことがある：

標準化はパラメータ化されていない根についてのみ可能である：

パラメータ化された根は複素パラメータ平面上で複雑な分使切断線を持つ可能性がある：

非多項式のRootオブジェクトは異なる根のクラスタを表すことがある：

より高い精度で数値計算すると根の1つが近似される：

続く計算でも根の選択は同じである：

おもしろい例題 (1)

ピソット(Pisot)数の高次ベキはほぼ整数に等しい：