MATHEMATICA 組込みシンボル

SingularValueDecomposition

SingularValueDecomposition[m]
数値行列 m の特異値分解を行列のリスト

として与える．ただし，w は対角行列であり m はu.w.Conjugate[Transpose[v]]と書くことができる．

a に対する m の一般化された特異値分解を与える．

SingularValueDecomposition

m の k 個の最大特異値に関連する特異値分解を与える．

SingularValueDecomposition

k 個の最大特異値に関連する一般化された特異値分解を与える．

詳細

行列 m は長方行列でもよい．

w の対角成分は，m の特異値である．

SingularValueDecompositionはSingularValueListによって除去される特異値をゼロとする．

オプションToleranceは，SingularValueListにおけるようにどの特異値をゼロとみなすのかの決定に使用される． »

u と v は列正規直交行列で，その転置は正規直交ベクトルのリストと考えられる．

SingularValueDecompositionは，m が u.w.Conjugate[Transpose[v]]として，また a が ua.wa.Conjugate[Transpose[v]]として書けるような行列のリストを与える． »

例 (1)

Out[1]=

Out[2]=

スコープ (3)

m は3×2行列である：

機械数演算で m の特異値分解を求める：

24桁精度演算で m の特異値分解を求める：

ランダムな複素数値の2×4行列の特異値分解：

m と a は3列の乱数行列である：

m の a についての一般化された特異値分解を求める：

一般化と拡張 (2)

m は3×3の特異行列である：

m の完全な特異値分解を求める：

特異値分解からもとの行列を再構築することができる：

非零の特異値と関連する「薄い」分解を求める：

この分解は，もとの行列を再構築するのに十分な情報を持っている：

s は大規模疎行列である：

オプション (1)

m はほとんど特異行列である：

機械精度では，この行列は事実上特異行列である：

許容度を低くすると，非零の特異値が見られるようになる：

デフォルトの許容度は精度に基づいているので，20桁精度で小さな値が検知される：

アプリケーション (2)

m は2×2行列である：

その特異値分解を求める：

v の列は，

によるベクトルの最小と最大の伸縮の方向を与える：

u の列は，

によるベクトルの最小と最大の伸縮の方向を与える：

次は，乱数的に生成されたデータである：

データを基底関数

にフィットするデザイン行列を構築する：

縮約された特異値分解：

を最小化するベクトル x を求める：

x の構成要素はFitで与えられる係数である：

特性と関係 (4)

m と a は4列の乱数行列である：

m の特異値分解を求める：

m が u.w.Conjugate[Transpose[v]]に等しいことを証明する：

m の a についての一般化された特異値分解を求める：

m が u.w.Conjugate[Transpose[v]]に等しいことを証明する：

a が ua.wa.Conjugate[Transpose[v]]に等しいことを証明する：

m は乱数の2×5行列である：

m の特異値分解を求める：

w の対角要素は m.Transpose[m]の固有値の平方根である：

u の列は符号までの m.Transpose[m]の固有ベクトルである：

v の最初の2列は，符号までのTranspose[m].m の固有ベクトルである：

m は3×3の特異行列である：

薄い特異値分解を求める：

対角行列 w の逆行列を形成する：

m のムーア・ペンローズ(Moore-Penrose)擬似逆行列を構成する：

次はPseudoInverseコマンドで与えられる行列である：

m は2つのベクトルの外積である：

m の縮約された特異値分解：

u と v の1列は2つのベクトルの正規化されたものである：

w の要素はノルムの積である：

考えられる問題 (1)

m は2×1000のランダム行列である：

完全な特異値分解は，u が1000×1000行列なので非常に大きくなる：

圧縮した特異値分解は，はるかに小さい：

それでも m を再構成するための十分な情報を持っている：