MATHEMATICA 内置符号

SingularValueDecomposition

SingularValueDecomposition[m]
给出一个数值矩阵 m 的奇异值分解，形式为矩阵列表

，w 是一个对角矩阵，m 可以写为 u.w.Conjugate[Transpose[v]].

给出 m 相对于 a 的广义奇异值分解.

SingularValueDecomposition

给出 m 与第 k 大奇异值有关联的奇异值分解.

SingularValueDecomposition

给出与第 k 大奇异值有关联的广义奇异值分解.

更多信息

矩阵 m 可以是矩形.

w 的对角线元素是 m 的奇异值.

SingularValueList 将去掉 SingularValueDecomposition 设为零的奇异值.

选项 Tolerance 可以在 SingularValueList 中使用来决定哪些奇异值被考虑为零. »

u 和 v 是列正交矩阵，其转置可以被视为正交向量.

SingularValueDecomposition 给出矩阵列表，这样 m 可以写为 u.w.Conjugate[Transpose[v]]，a 可以写为 ua.wa.Conjugate[Transpose[v]]. »

例 (1)

Out[1]=

Out[2]=

范围 (3)

m 是一个 3×2 矩阵：

用机器数算法寻找 m 的奇异值分解：

用24位精度算法寻找 m 的奇异值分解：

随机2×4复数矩阵的奇异值分解：

m 和 a 是3列随即矩阵：

寻找关于 a 的 m 的广义奇异值分解：

推广和延伸 (2)

m 是一个3×3 的奇异矩阵：

找到 m 的全部奇异值分解：

奇异值分解可重构原来的矩阵：

找到稀疏分解与非零奇异值：

这个分解仍然有足够的信息来重建矩阵：

s 是一个大型稀疏矩阵：

选项 (1)

几乎是一个奇异矩阵：

对于机器精度而言，该矩阵是有效奇异：

以较小的误差，可以检测到非零奇异值：

缺省误差是基于精确度的，所以精度20可以检测到小值：

应用 (2)

m 是一个2×2 矩阵：

找到奇异值分解：

v 的列给出矢量

的最小和最大拉伸：

u 的列给出矢量

的最小和最大拉伸：

以下是一些随机产生的数据：

构建一个设计矩阵，拟合数据于基本函数

找到简明的奇异值分解：

找到最小化

的矢量 x ：

x 的组件是由 Fit 给出的系数：

属性和关系 (4)

m 和 a 是4列随机矩阵：

找到 m 的奇异值分解：

验证 m 等于 u.w.Conjugate[Transpose[v]]：

寻找关于 a 的 m 的广义奇异值分解：

验证 m 等于 u.w.Conjugate[Transpose[v]]：

验证 a 等于 ua.wa.Conjugate[Transpose[v]]：

m 是一个 2×5 随机矩阵：

寻找 m 的奇异值分解：

w 对角线元素是 m.Transpose[m] 特征值的平方根：

在差一个符号的意义上， u 的列等价与 m.Transpose[m] 的特征向量：

在差一个符号的意义上，v 的首两列等价于 Transpose[m].m 的特征向量：

m 是一个 3×3 的奇异矩阵：

找到稀疏奇异值分解：

对角矩阵 w 的逆：

构建 m 的Moore-Penros伪逆：

这是由 PseudoInverse 所给予的矩阵：

m 是两个矢量的外积：

m 的简明奇异值分解：

u 和 v 的单列是两个向量的规范化：

w 元素是模的乘积：

可能存在的问题 (1)

m 是一个2×1000 的随机矩阵：

完整的奇异值分解是非常大的，因为 u 是一个1000×1000 矩阵：

简明奇异值分解小得多：

它仍包含足够的信息来重建 m：

参见

SingularValueList Norm PseudoInverse LeastSquares QRDecomposition SchurDecomposition

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