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Mathematica > 数学和算法 > 方程求解 > Solve >

MATHEMATICA 内置符号

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Solve

试图求解以 vars 为变量的方程组或不等式组 expr.

在定义域 dom 上求解. dom 的常用选择为 Reals、Integers 和 Complexes.

expr 可以为下述形式的任意逻辑组合：

	lhs==rhs	方程
	lhs!=rhs	不等方程
	或	不等式
	exprdom	定义域说明
	ForAll[x,cond,expr]	全称量词
	Exists[x,cond,expr]	存在量词

Solve 等价于 Solve.

可以指定一个单变量或一个变量列表.

Solve 以形如的规则形式给出解.

当存在多个变量时，解以规则列表的形式给出：.

当存在多个解时，Solve 给出解的列表.

当指定了一个单变量且一个方程的一个特定根具有大于1的重数时，Solve 给出对应解的多个复件.

Solve 缺省假设以代数形式出现在不等式中的量为实数，而其它所有量为复数.

Solve 将所有变量和参数限定在定义域 dom 内.

如果 dom 为 Reals，或是它的一个子集，例如 Integers 或 Rationals，则所有常数和函数值也被限定为实数.

Solve[expr&&varsReals, vars, Complexes] 求解得到的是变量的实数值，但函数值可以为复数.

Solve[expr, vars, Integers] 在整数域上求解丢番图方程.

expr 中既不含、也不含其它代数变量的代数变量被视为独立参数.

Solve 处理的主要是线性和多项式方程.

当 expr 仅涉及实数或复数域上的多项式方程和不等式时，Solve 原则上可以直接求解所有的 .

当 expr 涉及到超越条件或整数定义域时，Solve 往往将在结果中引入额外参数.

Solve 可以对整数域上所有线性方程和不等式的解进行显式表示，并且可以求解文献中列出的大部分丢番图方程.

当 expr 仅涉及实数或复数域上的多项式条件时，Solve 将恒能进行量词消去.

可以给出以下选项：

	Cubics	False	是否使用显式根式求解所有三次曲线
	GeneratedParameters	C	如何对生成的参数进行命名
	InverseFunctions	Automatic	是否使用符号式反函数
	MaxExtraConditions	0	在连续参数上所允许的额外等式条件数
	Method	Automatic	应该使用何种方法
	Modulus	0	为整数假定的模数
	Quartics	False	是否使用显式根式求解所有四次曲线
	VerifySolutions	Automatic	是否验证由非等价变换获得的解
	WorkingPrecision	Infinity	计算中所用精度

Solve 仅给出通解. 仅当连续参数满足方程时才有效的解被去除. 在一定条件下才有效的其它解作为ConditionalExpression 对象表示.

ConditionalExpression 解所包含的条件可以涉及不等式、Element 陈述、非连续参数的等式与不等式，以及具有全维解的方程. 关于连续参数及变量的不等式与 NotElement 条件被舍掉.

当 MaxExtraConditions->Automatic 时，仅包含使连续参数的等式条件数最少的解.

当 MaxExtraConditions->All 时，将给出需要参数的任意条件的解，并且所有条件被包括.

当 MaxExtraConditions->k 时，仅包含使连续参数的等式条件数至多为 k 的解.

Solve 使用非等价变换求解超越方程，因此有些解可能得不到，并且可能无法对得到的解的有效性建立确切的条件.

当 Method->Reduce 时，Solve 仅采用等价变换，并且得到所有解.

如果方程无解，Solve 返回 .

如果解集为全维，Solve 返回 .

Solve 在以 m 为模的整数域上求解方程. 当 Modulus->Automatic 时，Solve 将力图找到使方程具有解的最大模数.

Solve 使用特殊的高效技术来处理具有近似数值系数的离散化线性方程组.

关闭所有单元

求解一个二次方程：

求解关于

和

的联立方程组：

以置换列表形式给出解：

用解置换

：

用解置换

和

的组合，并化简结果：

绘制

的解的实部，作为参数

的一个函数：

选择第3个解：

在实数域上求解方程：

用解置换

，并化简结果：

在正整数域上求解方程：

列出前10个解：

求解一个二次方程：

Out[1]=

求解关于

和

的联立方程组：

Out[1]=

以置换列表形式给出解：

Out[1]=

用解置换

：

Out[2]=

用解置换

和

的组合，并化简结果：

Out[3]=

绘制

的解的实部，作为参数

的一个函数：

Out[4]=

选择第3个解：

Out[1]=

Out[2]=

在实数域上求解方程：

Out[1]=

用解置换

，并化简结果：

Out[2]=

在正整数域上求解方程：

Out[1]=

列出前10个解：

Out[2]=

多项式方程用根式可解：

一般的多项式方程：

有重根的多项式方程：

有符号系数的多项式方程：

代数方程：

超越方程：

有界区域上的单变量初等函数方程：

有界区域上的单变量正则函数方程：

这里，Solve 找到了一些解，但不能证实再无其它解：

复平面上一个垂直条纹的纯虚周期的方程：

符号函数：

线性方程组：

有符号系数的线性方程：

线性方程的欠定组：

无解的线性方程：

多项式方程组：

有符号系数的多项式组：

代数方程：

超越方程：

多项式方程：

具有重根的多项式方程：

具有符号系数的多项式方程：

代数方程：

分段方程：

超越方程，可以反函数求解：

超越方程，可用特殊零函数求解：

超越不等式，可用特殊零函数求解：

指对数方程：

高次离散多项式方程：

涉及高次根式的代数方程：

涉及非有理实数幂的方程：

具有双根的方程：

Tame 初等函数方程：

有界区间上的初等函数方程：

有界区间上的正则函数方程：

实数域上的周期型初等函数：

线性方程组：

多项式方程组：

量化的多项式方程组：

代数方程及不等式组：

分段方程组：

超越方程及不等式组，可用反函数求解：

第一个变量为指数对数形式、其它变量为多项式形式的方程及不等式组：

量化的方程组：

第一个变量为初等有界形式、其它变量为多项式形式的方程及不等式组：

量化的方程组：

第一个变量为正则有界形式、其它变量为多项式形式的方程及不等式组：

量化的方程及不等式组：

线性方程组：

线性方程及不等式组：

单变量多项式方程：

二元二次方程：

Thue 方程：

平方和方程：

勾股方程：

有界方程及不等式组：

无解高次方程组：

超越丢番图系统：

同余多项式方程组：

线性方程组：

单变量多项式方程：

多项式方程及不等式组：

量化多项式方程及不等式组：

混合的实数和复数变量：

混合的实数和整数变量：

推广和延伸 (1)

求解所有变量：

缺省时，Solve 使用一般公式以根式形式求解三次曲线：

当 Cubics->False 时，Solve 不使用公式：

Solve 可能引入新的参数以表示解：

使用 GeneratedParameters 来控制参数的生成方式：

在缺省情况下，Solve 用反函数但输出警告信息：

设置 InverseFunctions->True，Solve 不输出反函数的警告信息：

设置 InverseFunctions->False，Solve 不使用反函数：

求解代数方程不需要使用反函数：

此处使用一种基于 Reduce 的方法，不需要使用反函数：

缺省时，不生成需要附加条件的解：

参数离散时除外：

缺省设置 MaxExtraConditions

不给出需要条件的解：

MaxExtraConditions

给出的解需要至多一个方程来确定参数：

MaxExtraConditions

给出的解需要至多二个方程来确定参数：

给出的解需要的参数方程数最少：

给出全部解：

缺省时，Solve 舍掉关于连续参数的不等式条件：

当设置为 MaxExtraConditions->All 时，Solve 包括所有条件：

缺省时，Solve 舍掉关于连续参数的不等式条件：

当设置为 Method->Reduce 时，Solve 使用 Reduce 求完整的解集：

在以9为模的整数上求解方程：

求使方程组有一个解的模数：

缺省时，Solve 使用一般公式以根式形式求解四次曲线：

当设置为 Quartics->False 时，Solve 不使用公式：

Solve 用非等价转换来验证获得的解：

设置为

False 时，Solve 不验证解：

在

False 下返回的某些解可能不正确：

这里用快速数值测试来尽可能选择正确的解：

在这个例子中，数值验证给出正确的解集：

在缺省情况下，Solve 不能验证有不确定系数的方程的解：

在某些返回的解中，polys 离零值差距很大：

设置为

True 时，Solve 在必要时增加计算精度：

现在 polys 的解非常接近零：

在缺省情况下，Solve 求出方程确切的解：

使用100位精度计算解，速度较快：

结果中的前100位数字与确切解一致：

用机器精度计算解会更快：

结果仍很接近确切解：

求解一个二次方程：

求出圆和抛物线的交点：

找到使四次方程所有根相等的条件：

一种使用 Subresultants 的方法：

一种使用量词消去的方法：

绘制一条由隐式描述确定的空间曲线：

绘制空间曲线在

平面上的投影：

求勾股数（毕氏三元组）：

求勾股数序列：

求如何使用面值分别为10分、23分和37分的邮票付$2.27的邮费：

通过 IntegerPartitions 可以完成同样的任务：

属性和关系 (14)

满足方程的解：

给出的解作为置换规则，可以直接用于置换：

Solve 用

表示空解或无解：

Solve 用

表示所有解或满足方程的所有点：

对于单变量方程，Solve 根据解的重数重复解：

代数方程的解通常以 Root 对象的形式给出：

用 N 计算 Root 对象的数值近似值：

Root 对象可以涉及参数：

用 Series 计算 Root 对象的级数展开：

满足方程的级数最高阶数为11：

在指定的定义域上求解：

解可能涉及关于参数的条件：

如果条件得以满足，条件解满足方程：

Solve 按替换规则表示解：

Reduce 用方程和不等式的

组合来表示解：

Solve 使用快速试探法求解超越方程，但可能给出不完全的解：

Reduce 使用的方法往往较慢，但能得到所有解，并且给出所有必要的条件：

用 FindInstance 求出一个特解：

与 Reduce 类似，可以为 FindInstance 给出不等式和定义域说明：

用 DSolve 求解微分方程：

用 RSolve 求解递归方程：

SolveAlways 给出使得复数方程恒为真的参数值：

同样的问题可以用 ForAll 表述，并用 Solve 或 Reduce 求解：

Resolve 消去量词，可能不需求解生成的无量词方程组：

Eliminate 从复数方程组中消去量词：

用 Resolve 求解相同的问题：

Reduce 和 Solve 求解生成的方程：

可能存在的问题 (4)

Solve 给出通解；涉及参数方程的解没有给出：

Reduce 给出所有解，包含需要参数方程的解：

设置为 MaxExtraConditions->All 时，Solve 也给出非通解：

Solve 的结果不依赖于部分输入方程是否只含有参数. 下面的两个方程组等价，都不存在通解：

使用 MaxExtraConditions 指定所允许的参数条件数：

使用 Exists 量词求对于某些参数值

有效的解：

Solve 不去除既不是一般正确的，也不是一般不正确的解：

解在

时是正确的，在

时是不正确的：

对于超越方程，Solve 可能不给出所有的解：

使用 Reduce 得到所有解：

Solve 在设置 Method

时，使用 Reduce 求解，但返回置换规则：

用反函数，这允许 Solve 快速求出某些解：

求出完全解可能花费更长的时间并且解可能会很大：

这里求出解为 x==2 的 n 值：

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