フーリエ級数パッケージ

Mathematica カーネルは,指数形の記号フーリエ(Fourier)変換および逆フーリエ変換のそれぞれを計算するためのFourierTransform関数,InverseFourierTransform関数を提供している.また,記号フーリエ正弦変換,記号フーリエ余弦変換と各々の逆変換を計算するものとして,FourierSinTransformInverseFourierSinTransformFourierCosTransformInverseFourierCosTransformも提供している.バージョン7現在で,FourierSeriesとその関連関数は Mathematica カーネルにも含まれている.

このパッケージはフーリエ変換,フーリエ級数,離散時間フーリエ変換の数値近似のための関数を提供する.数値近似では,厳密解を求めようと試みずに,直接 Mathematica の数値積分と総和を使用する.

NFourierTransform[expr,t,]数値 で評価された expr のフーリエ変換の数値近似を求める.ここで exprt の関数として扱われる
NInverseFourierTransform[expr,,t]数値 t で評価された expr の逆フーリエ変換の数値近似を求める.ここで expr の関数として扱われる
NFourierSinTransform[expr,t,]数値 で評価された expr のフーリエ正弦変換の数値近似を求める.ここで exprt の関数として扱われる
NInverseFourierSinTransform[expr,,t]数値t で評価された expr の逆フーリエ正弦変換の数値近似を求める.ここで expr の関数として扱われる
NFourierCosTransform[expr,t,]数値 で評価された expr のフーリエ余弦変換の数値近似を求める.ここで exprt の関数として扱われる
NInverseFourierCosTransform[expr,,t]数値 t で評価された expr の逆フーリエ余弦変換の数値近似を求める.ここで expr の関数として扱われる

フーリエ変換の数値近似を求める

パッケージをロードする.
In[1]:=
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これは,における についてののフーリエ変換に対する数値近似を与える.
In[2]:=
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Out[2]=

数値フーリエ変換関数は,NIntegrateオプションをサポートするだけでなく,FourierParametersオプションもサポートする.このオプションにより,フーリエ変換を定義するために使用されるさまざまな規約から必要なものを選択することができる.

場合 フーリエ変換と逆フーリエ変換
Mathematica のデフォルト
一般的な場合

フーリエ変換に対するFourierParameters設定の効果

設定 フーリエ正弦変換逆フーリエ正弦変換

フーリエ正弦変換に対するFourierParameters設定の効果

設定 フーリエ余弦変換逆フーリエ余弦変換

フーリエ余弦変換に対するFourierParameters設定の効果

フーリエ級数あるいは係数の数値近似を計算するためには,以下に示すフーリエ級数関数の数値バージョンを使うことができる.数値近似関数はFourierParametersオプションを取るので,周期を指定することができる.

NFourierCoefficient[expr,t,n]フーリエ級数展開の n 番目の係数の数値近似を求める
NFourierSinCoefficient[expr,t,n]フーリエ正弦級数展開の n 番目の係数の数値近似を求める
NFourierCosCoefficient[expr,t,n]フーリエ余弦級数展開の n 番目の係数の数値近似を求める
NFourierSeries[expr,t,k]係数の数値近似を用いて,k 次までのフーリエ級数展開を求める
NFourierTrigSeries[expr,t,k]係数の数値近似を用いて,k 次までの三角関数を使った級数展開を求める

フーリエ係数と級数の数値近似を求める

以下は, から の区間上ののように見える関数の三角級数の一部である.他の区間の関数は,周期でこれを繰り返すことで得られる.
In[3]:=
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Out[3]=
3周期上の三角多項式のプロットである.
In[4]:=
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Out[4]=
NFourierCoefficient[expr,t,n]関数 の数値近似を求める

FourierCoefficientの数値近似

周期 の周期関数のプロットである.
In[5]:=
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Out[5]=
FourierParametersオプションを使って関数の周期を指定することができる.
In[6]:=
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Out[6]=

離散時間領域から連続周波数領域へのフーリエ変換は通常離散時間フーリエ変換と呼ばれる.Z変換がラプラス変換の離散の形式であるように,離散時間フーリエ変換は,連続時間フーリエ変換の離散形式である.オプション設定FourierParameters -> {a, b}は周期を設定するために使うことができる.

これらの変換の数値近似は以下で与えられる.

NDTFourierTransform[expr,n,omega]関数 の数値近似を与える
NInverseDTFourierTransform[expr,omega,n]関数 の数値近似を与える

離散時間フーリエ変換の数値近似

これは,のときの離散時間フーリエ逆変換の数値近似である.
In[7]:=
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Out[7]=
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