How to | 偏微分方程式を解く方法

Mathematica の微分方程式解法関数は，多くの種類の微分方程式に適用できる．これらの関数は，適切なアルゴリズムを自動的に選択するので，ユーザが予め処理をする必要はない．このような微分方程式の1つに偏微分方程式がある．

Dを使って導関数を取り込み， の輸送方程式であるを設定し，それを変数として保存する：

DSolveを使って方程式を解き，解をとして保存する．DSolveの第1引数は方程式，第2引数は解くための関数，第3引数は独立変数のリストである．

答は規則として与えられ，C[1]は任意の関数である．

この解を，例えばという関数として使用する場合は，「」（ReplaceAllの簡略形）および （Partの簡略形）を使う：

その後は他の関数と同じように評価できる：

DSolveの第1引数にリストを使って，のような初期条件を追加することができる．解はとして保存される：

Plot3Dを使って解をプロットする：

初期条件が である非同次の偏微分方程式 にDSolveを使用する：

ネストしたリストから解だけを抽出する：

パラメータの任意値の解を評価する：

今度はPlot3Dを使って解をプロットする：

非数値係数を持つ偏微分方程式を使うことも出来る。

DSolveを使って，初期条件が である非同次の偏微分方程式 を解く．解はとして保存される：

解に対応する関数を定義する：

パラメータの任意値に対する解の関数を評価する：

パラメータの値を置き換える：

パラメータの任意値集合について関数をプロットする：

Manipulateを使って，パラメータ，，について解がどのように変化するかを示す：

ここまでの例では，DSolveを使って偏微分方程式の記号解が求められている．任意の偏微分方程式にパラメータが含まれない場合には，NDSolveを使って数値解を得ることができる．NDSolveの結果はInterpolatingFunctionオブジェクトとして与えられる．

以下では，NDSolveによって出された解は，として保存される：

解をPlot3Dを使ってプロットする：

InterpolatingFunctionオブジェクトは，他の操作で評価，プロット，使用することができる．

InterpolatingFunctionの解だけをから得て，それを新しい記号に割り当てる：

およびの指定値で解を評価する：

Plot3Dを使って解をプロットする：

偏微分方程式にパラメータが含まれる場合，NDSolveをパラメータの特定値それぞれに使うことができる．また，NDSolveを使いパラメータの値を取る関数を設定することもできる．

NumericQを使って関数がパラメータの非数値について評価することを防ぐ：

In[7]:=

パラメータの特定値（この場合は5）に対応する解を求める：

Plot3Dを使って解をプロットする．評価を正しい順序で行うためには，Evaluateが必要である：

NDSolveは，Manipulateのような別の Mathematica 関数でも使用できる．

パラメータの任意値に対応する偏微分方程式を解いてから，結果の解をプロットする：