How to| 求解偏微分方程

Mathematica 的微分方程求解函数可以用于许多不同种类的微分方程，自动选择合适的算法，而无须用户进行预处理. 其中一种类型是偏微分方程（PDE）.

使用 D 来求导，以下建立 输运方程，，并把它存储为 ：

使用 DSolve 来求解方程，并且把解存储为 . DSolve 的第一个变量是一个方程，第二个变量是要求解的函数，而第三个变量是自变量组成的列表：

答案作为一个规则给出，并且 C[1] 是一个任意函数.

若要把解作为一个函数来使用，比方说 ，则使用 （ReplaceAll 的简写形式）和 （Part 的简写形式）：

接着，您可以计算 正如您即时任何其它函数一样：

您也可以通过使得 DSolve 的第一个变量为一个列表来增加一个初始条件，比如 . 该解被存储为 ：

使用 Plot3D 来绘制解：

对非齐次偏微分放出 使用 DSolve，并且具有初始条件 ：

从嵌套列表得到解：

对给定参数值计算解：

现在，使用 Plot3D 来绘制解：

用户也可以对具有非数值系数的偏微分方程进行操作.

使用 DSolve 来求解非齐次偏微分方程，例如，，其中初始条件为 . 其解被存储为 ：

定义一个函数 ，对应于解 ：

对参数的给定值，计算解函数：

替换参数值：

对给定参数值集合，绘制解 ：

使用 Manipulate 来显示解 如何随着参数 、 和 而改变：

到目前为止的例子中都使用 DSolve 来获取偏微分方程的符号解. 当一个给定的偏微分方程不包含参数时，NDSolve 可以被用来获取数值解. NDSolve 的结果作为 InterpolatingFunction 对象给出.

以下，由 NDSolve 产生的解被存储为 ：

使用 Plot3D 绘制解：

InterpolatingFunction 对象可以被计算、绘图以及使用在其它操作中.

从 即可获得解 InterpolatingFunction 并且把它赋给新符号 ：

对于 和 的指定值计算解：

使用 Plot3D 绘制解 ：

当偏微分方程包含参数，NDSolve 可以用于每个特定的参数值. 另外，用户可以建立一个使用 NDSolve 的函数，并且采用参数值.

使用 NumericQ 防止函数 对非数值参数值进行计算：

In[7]:=

求对应于参数的某个特定值的解，在这个例子中，参数值为5：

使用 Plot3D 绘制解. Evaluate 是必须的，以使得计算以正确的顺序出现：

NDSolve 也可以与其他 Mathematica 函数一起使用， 比如 Manipulate.

求解对应于参数 的某个特定值的偏微分方程，然后绘制所得的解：