How to| 用导数建立微分方程

Mathematica 中求解微分方程的函数可用于求解多种类别的微分方程，包括常微分方程（ODE）、偏微分方程（PDE）、微分代数方程（DAE）以及边界值问题（BVP）等. 利用导数建立这些方程以在 Mathematica 中求解是非常重要的.

对于常微分方程，有多种方式可以表示以 为自变量的函数 对 的导数.

最普通的方法是使用 D：

可以指定微分次序，这里为1：

使用 也可以得到导数 ：

符号 是 Derivative 的简写符号：

FullForm 表明 与 Derivative 等价：

用 D 建立常微分方程 以求解，并将该方程存为 ：

使用 TraditionalForm 将常微分方程以数学教科书或期刊中的形式显示：

常微分方程建立好后，可以使用 DSolve 对其进行符号式求解：

解 用一个嵌套列表中的规则表示. 关于如何将此解从列表中提出并使用的信息，请参见 How to: 使用规则形式的解.

大多数时候，常微分方程伴随着边界及初始条件. 因此，计算函数在给定变量值时的导数将频繁用到. 这可以用多种方式完成. 此处，使用 作为一个范例.

使用 （ReplaceAll 的简写符号）将 代入 . Mathematica 首先计算 D，然后执行替换：

或者，使用 直接地仅计算 ：

这也等价于 Derivative：

再举一个例子，建立常微分方程 , , 用于求解：

使用 DSolve 获得符号解：

当然，您也可以不建立微分方程，直接求解：

另外，您可以将常微分方程用偏微分方程表示，并求解 而不是 ：

这里建立了常微分方程 ，：

使用 DSolve 获得符号解：

除了使用 DSolve，您可以使用 NDSolve 得到一个数值解，对应于该常微分方程的一个系数相关的 的特定值.

下面的范例给出 时的解. NDSolve 给出的结果是 InterpolatingFunction 对象的形式：

下面的函数 给出相应于 各个值的数值解：

In[32]:=

绘制 及 处的图形. 使用 Evaluate 以确保 在 Plot 中的正确计算：

更多信息请参见 How to: 绘制 NDSolve 的结果.

Mathematica 也可以建立并求解偏微分方程.

此处使用 来说明 Mathematica 中偏导数的各种不同表示方式.

得到偏导数最常见的方法是使用 D：

使用 D 略有不同的语法可以完成同一任务：

另一种方法是使用 Derivative：

FullForm 表明这些方法是等价的：

下面，考虑一个偏微分方程的多种变形.

建立偏微分方程 用于求解：

使用 DSolve 求该偏微分方程的符号解. 结果以任意函数 C[1] 的形式给出：

该解也可以纯函数的形式得到. Function 代表 Mathematica 中的一个纯函数：

使用 DSolve 获得该偏微分方程的符号解 , ：

使用 NDSolve 获得该偏微分方程的数值解 , , . 解存为 ，以便日后使用：

使用 Plot3D 实现 NDSolve 结果的可视化：

在以上的情形中，导数与偏导数以变量的形式给出. 这里，对它们进行数值计算.

下面的两种方式都可用于表示偏导数值，如 ：

除了常微分方程与偏微分方程外，Mathematica 还可以求解微分代数方程.

作为一个范例，请考虑该微分代数方程 , 满足 ：

In[31]:=

使用 DSolve 获得该微分代数方程的符号解：

要查看在 且 时的解，使用 将这些值代入解中：

现在绘制解的图形：

同一图形也可以通过先将 与 代入 ，然后使用 NDSolve 得到：

如前所述，解的可视化通过 Plot 实现：