How to | 統計的分布を使う方法

統計的分布は,生物科学,社会科学,物理科学を含めた数多くの分野において応用されている.Mathematica では統計的分布を記号的オブジェクトとして表す.組込み関数をオブジェクトに適用することによって,何百もの組込み関数あるいはカスタム分布の特性,結果,および乱数を得ることができる.

統計的分布は Mathematica オブジェクトに過ぎない:

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Out[1]=

PDF関数を使って分布の確率密度分布を得ることができる:

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Out[2]=

,および に数を挿入することによって,数値結果を得ることができる.

,および の数値の密度を計算する:

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Out[3]=

記号的結果はその他の関数でも使用することができる.

ここでは, および の指定された値について密度関数をプロットする:

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Out[4]=

組込み関数を使って,平均,分散,累計分布関数(CDF),特性関数等の一般的な特性を直接得ることが可能である.

以下は成功率が.3で100回試みた場合の二項分布の平均である:

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Out[5]=

確率密度関数のように,特性関数は分布を一意的に定義する.

コーシー分布の特性関数の一般的な式を得る:

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Out[6]=

より一般的な期待値を計算することもできる.この期待値は,与えられた分布からの確率変数に適用する特定関数に期待される値を返す.原点の周りの 次モーメントは 乗した の期待値である.

ポワソン分布における確率変数 の原点の周りの 次モーメントを求める:

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Out[7]=

RandomVariateを使って分布から乱数を生成することができる.

以下は自由度15の 分布のシミュレーションを行って得た10個の数である:

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Out[8]=

幾何分布は,各試みについて成功率が である場合に,失敗する前に行う試みの数を表す.

成功確率パラメータが である幾何分布から20個の数のシミュレーションを行う:

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Out[9]=

データと関数のプロットは組み合せることができるので,標本を理論的な分布に対して可視化することさえ可能である.

ガンマ分布に従う乱数を個生成し,記号 data に保存する:

In[10]:=
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Histogramを使って,確率密度についてこれらの値のヒストグラムを生成することができる:

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Out[11]=

Plotを使って理論的な密度関数を可視化することができる:

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Out[12]=

その後Showを使って2つのグラフィックスを一緒に表示することができる:

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Out[13]=

データ集合が特定の分布に従うと仮定して,パラメータ値を推定したい場合もある.例えば,FindDistributionParametersを使ってパラメータの最大尤度推定値を求めることができる:

In[14]:=
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Out[14]=

結果はEstimatedDistributionを使って分布オブジェクトにまとめることができる:

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Out[15]=

対数尤度はLogLikelihoodを推定分布と一緒に使って計算することもできる:

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Out[16]=

対数尤度値は,別のパラメータの対数尤度値と比べるとほとんどの場合関連している.取得した値の近傍でContourPlotを作成すると,定性的比較を得ることができる.与えられた等高線上の点は同じ対数尤度を持つ.

以下では最適点に白い点が置かれている:

In[17]:=
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Out[17]=
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