How to| 利用统计分布

统计分布应用在许多领域,包括生物学、社会学和物理学等. Mathematica 用符号对象表示统计分布. 通过将内置函数应用于对象,您可以获得上百个内置或自定义分布的性质、结果和随机数.

统计分布是 Mathematica 对象:

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Out[1]=

可以用 PDF 函数得到该分布的概率密度函数:

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Out[2]=

代入数值可以得到数值结果.

计算 均为数值时的概率密度:

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Out[3]=

符号式结果也可用于其它函数.

这里,绘出 的值给定时的密度函数:

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Out[4]=

您可以利用内置函数直接获得诸如均值、方差、累积分布函数以及特征函数等常见性质.

这是一个二项分布的均值,该分布的试验次数为100次,成功概率为 0.3:

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Out[5]=

正如 PDF,特征函数能够定义一个唯一的分布.

获得一个柯西分布特征函数的一般公式:

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Out[6]=

还可计算更具一般性的期望值,即将一个服从给定分布的随机变量应用于一个给定函数,所得到的该函数的期望值. 阶原始矩是 次幂的期望值.

得到一个泊松分布随机变量 阶原始矩:

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Out[7]=

可以使用 RandomVariate 由分布生成随机数.

这是由自由度为15的 分布模拟得到的10个数值:

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Out[8]=

几何分布描述的是:当每次试验的成功概率为 时,一次失败之前所进行的试验次数.

生成20个数,模拟成功概率为 的几何分布:

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Out[9]=

您甚至可以实现样本分布与理论分布的可视化,因为数据和函数的图形可以组合在一起.

这里生成了 个伽玛分布的数,并存为符号 data

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可以用 Histogram 生成这些值在概率密度尺度上的直方图:

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Out[11]=

可以使用 Plot 绘出理论密度函数的图形:

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Out[12]=

然后,可用 Show 将两个图形显示在一起:

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Out[13]=

您或许还希望在假定一组数据服从一定分布时,对参数值进行估计. 例如,可以利用FindDistributionParameters 得到参数的最大似然估计:

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Out[14]=

该结果可以使用 EstimatedDistribution 打包放到一个分布对象中:

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Out[15]=

对数似然也可以利用 LogLikelihood 结合所估计的分布计算得到:

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Out[16]=

对数似然值在与其它参数的对数似然值比较时才有意义. 在得到的值附近创建 ContourPlot 可以提供一种量化的比较. 给定等高线上的所有点具有相同的对数似然.

这里,在最优点处放置了一个白色的点:

In[17]:=
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Out[17]=
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