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Reduce

Reduce
通过求解关于 vars 的方程和不等式以及消除量词来约化表达式 expr.
Reduce
在域 dom 上的约化. dom 的选取通常是 RealsIntegersComplexes.
  • expr 可以是以下表达式的任何逻辑组合:
lhs==rhs方程
lhs!=rhs不等式
不等式
exprdom指定域
ForAll[x,cond,expr]全称量词
Exists[x,cond,expr]存在量词
  • Reduce 的结果总是描述和 expr 完全相同的数学问题.
  • 默认是,Reduce 假定以代数形式出现在不等式中的量为实数,而其他量为复数.
  • Reduce 将所有变量和参数限制在域 dom 上.
  • 如果 domReals,或其子集如 IntegersRationals ,则所有常量和函数值也限制为实数.
  • Reduce[expr&&varsReals, vars, Complexes] 对假定为实数的变量进行约化,但允许函数值是复数.
  • Reduce 实际上是将 expr 写成关于 、... 的条件组合,其中每个条件仅含有之前的 .
  • expr 中与 无关,并且相互无关的代数变量视为独立参数.
  • LogicalExpand 应用到 Reduce 的结果上将产生一个 形式的表达式,其中每个 可以认为是代表 expr 定义的集合中的一个独立成分.
  • 可以不相交且可以有不同的维数. 在应用 LogicalExpand 后,每个 的形式.
  • 没有 LogicalExpand 时,Reduce 默认地返回关于 的条件的一个嵌套组合,相邻级之间交替用 OrAnd 连接.
  • expr 仅包含实数域或复数域上的多项式方程和不等式时,则 Reduce 原则上总能直接对所有 求解.
  • expr 涉及超越条件或整数域时,Reduce 通常将在它的结果中引入附加参数.
  • expr 仅包含多项式条件时,Reduce[expr, vars, Reals] 给出 expr 的一个柱形代数分解.
  • Reduce 可以给出整数上所有线性方程和不等式解的明确表示,可以求解文献中描述的 Diophantine 方程的大部分.
  • expr 仅包含实数或复数域上多项式条件是,Reduce 将总要消除量词,使量词变量不出现在结果中.
  • Reduce 可以赋给以下选项:
BacksubstitutionFalse是否给出回代后展开的结果  »
CubicsFalse是否使用明确的根式来求解所有三次方程  »
GeneratedParametersC如果命名所产生的参数  »
Modulus0对整数假定的模数  »
QuarticsFalse是否使用明确的根式来求解所有的四次方程  »
  • Reduce[expr, {x1, x2, ...}, Backsubstitution->True] 产生的形式中,前面的变量生成的方程的值被回代,这样关于某特定 的条件对之前的 只有最小的依赖. »
约化方程和不等式:
用特定的域:
约化一个量化的表达式:
约化方程和不等式:
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=
In[2]:=
Click for copyable input
Out[2]=
 
用特定的域:
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=
In[2]:=
Click for copyable input
Out[2]=
 
约化一个量化的表达式:
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=
一个线性系统:
一元多项式方程:
多元多项式方程:
多项式方程和不等式组总可以约化:
一个量化的多项式系统:
一个代数系统:
可用反函数求解得超越方程:
此例无解:
用特殊函数的零点求解方程::
求解以下系统不需要黎曼假设:
闭区域上的初等函数方程:
闭区域的解析函数:
Reduce 找到一些解,但不能证明没有其它解:
复平面上一个竖直条带上的有纯虚数周期的方程:
双周期超越方程式:
超越方程组:
一个线形系统:
一元多项式方程:
一元多项式不等式:
多元多项式方程:
多元多项式不等式:
多项式方程和不等式组总可以被约化:
一个量化的多项式组:
一个代数系统:
分段方程:
分段不等式:
可用反函数求解的超越方程:
可用反函数求解的超越不等式:
可用特殊函数零点求解的超越方程式:
可用特殊函数零点求解的超越不等式:
指数对数方程:
高次稀疏多项式方程:
带有高次根的代数方程:
带有无理实数冪的方程式:
指数对数不等式:
有界区间的初等函数方程:
有界区间的全纯函数方程:
实数域上的周期性初等函数方程:
可用反函数求解的超越系统:
对第一个变量为指数-对数函数而对其它变量为多项式的系统:
量化系统:
对第一变量为初等函数且有界而对其它变量为多项式的系统:
量化系统:
对第一变量位全纯函数且有界而对其它变量为多项式中的系统:
量化系统:
线形方程组:
线形方程和不等式组:
一元多项式方程:
一元多项式不等式:
二元二次方程:
一个 Thue 方程:
一个平方和的方程:
毕达哥拉斯(Pythagoras)方程(勾股定理):
方程和不等式的有界系统:
无解的高次系统:
超越的丢番图(Diophantine)系统:
同余的多项式组:
一个线形系统:
一个一元多项式方程:
一个多元多项式方程:
一个多项式方程和不等式系统:
约化一个量化的多项式系统:
实数和复数变量的混合:
求出满足 为小于 的实数的 的实数值和 的复数值:
约化含有 Abs[x] 的不等式:
绘制解集:
因为在变量列表中 出现在 之后,Reduce 可能用 表示 的解:
设置 True 后,Reduce 给出 的明确数值结果:
默认情况下 Reduce 不使用以根式表达的三次方程解的通式:
设置 Cubics->True 时,Reduce 按根式求解所有三次方程:
Reduce 可能引入新的参数来表示解:
GeneratedParameters 控制参数如何产生:
在模 9 的整数上求解方程:
默认情况下 Reduce 不使用以根式表达的四次方程解的通式:
设置 Quartics->TrueReduce 按根式求解所有四次方程:
由于含有高次的代数数, Reduce 不能求解以下的问题:
WorkingPrecision 使得 Reduce 找到一个解,但它可能不正确:
找出使得四次方程所有根都相等的条件:
一个使用 Subresultants 的方法:
一个使用量词消去的方法:
绘制一个由隐含描述给出的空间曲线:
绘制该空间曲线在 - 平面上的投影:
证明三角形中 边的几何不等式:
证明三角形不等式:
证明一个锐角三角形的不等式:
求出一个 Pythagorean 三元组(满足勾股定理):
求出一个 Pythagorean 三元组的序列:
求出用 10 分、23 分和 37 分邮票付 $2.27 邮资的方式:
IntegerPartitions 可以完成同样的任务:
证明只有五个正多面体:
一个正 -面体的每个面贡献 条边,但是由于它们是共享的,所以它们被计算两次:
一个正 -面体的每个面贡献 个顶点,但是由于它们是共享的,所以它们被计算 次:
使用欧拉公式 ,求面的数目:
为了使最后一个公式有正确定义,分母必须是正整数:
因此有以下五种情况:
把它与 PolyhedronData 中的实际数目相比较:
约化后的结果与原先的系统等价:
可用 ToRulesReplaceRepeated 对有限解集实施回代:
Expand 简化含有简单根式的代换结果:
RootReduce 简化含有代数数的表达式:
FindInstance 找出解的个例:
Solve 以替代规则的形式表示复方程的解:
Solve 省略含有有关参数的方程的解:
对超越方程,Solve 可能不能给出全部解:
利用反函数,可使 Solve 快速地找出一些解:
求出全部解,需花很多时间,而且解可能会很大:
的值, 使 x==2 是一个解:
SolveAlways 给出使复方程式永远成立的参数的值:
利用 Reduce 解决相同问题:
Resolve 消除量词,有可能并不求解所得的无量词系统:
Eliminate 去除复方程组中的变量:
利用 Resolve 求解相同问题:
Reduce 还进一步求解所得方程:
因为 出现在不等式中,所以被认为是实数; 可允许是复数:
当指定域为 Reals 时,Sqrt[x] 被要求是实数:
这允许 为复数,但要使不等式两边为实数:
Reduce 不能解决依赖于 Mathematica 函数的分支切割的方程式:
将第一条件非零的区域制图:
直接利用极限的定义,求出 的垂直渐近线:
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