MATHEMATICA 教程

高级矩阵运算

SingularValueList[m]	m 的非零的奇异值的列表
SingularValueList[m,k]	m 的 k 个最大的奇异值
SingularValueList[{m,a}]	m 的相对于 a 的广义奇异值
Norm[m,p]	m 的 p-范数
Norm[m,"Frobenius"]	m 的 Frobenius 范数

求矩阵的奇异值和范数.

矩阵

的奇异值是

的特征值的平方根，这里

表示 Hermitian 转置. 奇异值的数目是矩阵的最小的维数. SingularValueList 将奇异值从最大到最小进行整理. 非常小的奇异值通常在数值上没有意义的. 当使用 Tolerance->t 这个选项设置时，SingularValueList 去掉小于最大奇异值的 t 部分的那些奇异值. 对于近似数字矩阵，默认下的容限值稍微比零大一点.

如果取

维空间的单位球，用

矩阵

乘其中对于每个点的向量，这将得到

维空间的椭球体.

的奇异值给出椭球体主轴的长度.

矩阵的2-范数 Norm

是椭球体的最大的主轴，等于矩阵最大的奇异值. 这也是对于任何可能的单位向量

，

的最大的2-范数长度.

矩阵的

-范数一般是

所能得到的最大

-范数长度. 最常考虑的情况是

、

和

. 有时也被考虑的是 Frobenius 范数 Norm

，它是

的迹的平方根.

LUDecomposition[m]	求任意方阵的 LU 分解
CholeskyDecomposition[m]	Cholesky 分解

把方阵分解成三角形式.

当用 LinearSolve[m] 产生一个 LinearSolveFunction 时，这经常是通过把矩阵 m 分解成三角形式来完成的. 有时能明确地得到这些形式是有用的.

LU 分解将任何方阵有效地分解为下三角和上三角阵的乘积. Cholesky 分解将任何 Hermitian 正定矩阵分解为一个下三角阵和它的 Hermitian 共轭的乘积，这可以看成是类似于求一个方阵的平方根.

PseudoInverse[m]	计算矩阵的伪逆
QRDecomposition[m]	求数值矩阵的 QR 分解
SingularValueDecomposition[m]	奇异值分解
SingularValueDecomposition[{m,a}]	广义奇异值分解

矩阵的正交分解.

当矩阵不是方阵或是奇异时，标准的逆矩阵定义不再有效. 然而，可以定义矩阵

的伪逆矩阵

. 它使得

中的所有元素的平方和被最小化，其中

是单位阵. 伪逆矩阵有时被称为广义逆，或 Moore-Penros . 这尤其在关于最小平方拟合的问题中使用.

QR 分解把任意矩阵

写为

，其中

是正交归一矩阵，

表示 Hermitian 转置，

是一个三角阵，在其中所有主对角线以下的元素都为零.

奇异值分解或 SVD 是许多数值矩阵算法中的基本元素. 基本的思想是将任何矩阵写成

的形式，其中

是对角线上的值为

的奇异值的一个矩阵，

和

是正交归一的矩阵，

是

的 Hermitian 转置.

JordanDecomposition[m]	Jordan 分解
SchurDecomposition[m]	Schur 分解
SchurDecomposition[{m,a}]	广义 Schur 分解
HessenbergDecomposition[m]	Hessenberg 分解