MATHEMATICAチュートリアル

代数的数

Root[f,k]

方程式

における k 番目の根を返す

代数的数の表し方

Rootの式を入力すると，その中に多項式があれば，式は自動的に最小な形に約される．

In[1]:=

Out[1]=

多項式を表す純粋な関数を抽出し，

に適用する．

In[2]:=

Out[2]=

Mathematica では，代数的数，つまり有理数を係数とする代数方程式の根はRootを用いた式で表記される．代数的数は，ある代数演算を施したなら，演算結果は必ず単一の代数的数で得られる，という性質を持つ．

代数的数の平方根を求める．

In[3]:=

Out[3]=

RootReduceを使い，単一のRoot式に約す．別な代数方程式の根であることが分かる．

In[4]:=

Out[4]=

代数的数を含むもっと複雑な式を例に見てみる．

In[5]:=

Out[5]=

この例でも，単一なRoot式として根が求まる．ただし，かなり複雑になってしまう．

In[6]:=

Out[6]=

RootReduce[expr]	式 expr を単一なRoot式に約す
ToRadicals[expr]	Root式を明示的なベキ根に変換する

代数的数を使った変形操作

簡単なRoot式なら，直ちにベキ根として表してくれる．

In[7]:=

Out[7]=

三次の多項式だと，Rootは自動的にはベキ根で表してくれない．

In[8]:=

Out[8]=

ToRadicalsを使い，可能な場合にはRoot式をベキ根で表す．

In[9]:=

Out[9]=

SolveやToRadicalsを使っても整方程式の解がベキ根の形で得られないなら，ほとんどの場合，そのような変形ははじめから数学的に無理だからである．ただし，式によっては基本的に可能だが，Mathematica で求められないときもある．そのような状況がの式に当てはまるが，この方程式の解をベキ根で表すと非常に複雑になってしまう．もそのような式の1つである．この場合には，が1つの解である．

六次の多項式を持つRoot式が得られる．

In[10]:=

Out[10]=

ベキ根を使い簡単な形で表せるはずだが，ToRadicalsでは求まらない．

In[11]:=

Out[11]=

四次以上になると，ほとんどの多項式では，ベキ根で表せる根は存在しなくなる．一つ例外があり，それは式が五次の場合で，そのときは楕円関数や超幾何関数で表せることが知られている．それでも，得られる形が複雑過ぎて実際には使えない．

RootSum[f,form]	整方程式を満足するのすべての値についての和を取る
Normal[expr]	RootSumをRootの明示的な和で代替した形で式 expr を再構築する

根の和

の根を探し，根の逆数の和を取る．

In[12]:=

Out[12]=

対数の形はベキ根では表せない．

In[13]:=

Out[13]=

RootSumをRootを使った明示的な和の形に変換する．

In[14]:=

Out[14]=

RootApproximant[x]	数 x を，それを最もよく近似する「最も簡単な」代数的数のひとつに変換する
RootApproximant[x,n]	x を近似する最大 n 次の代数的数を見付ける