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組合せ関数

n!階乗 n (n-1) (n-2)...1
n!!2重階乗 n (n-2) (n-4)...
Binomial[n,m]2項係数
Multinomial[n1,n2,...]多項係数 (n1+n2+...)!/ (n1!n2!...)
CatalanNumber[n]カタラン数 cn
Subfactorial[n]n 個のオブジェクトの乱列の数
Fibonacci[n]フィボナッチ数 Fn
Fibonacci[n,x]フィボナッチ多項式 Fn (x)
LucasL[n]リュカ数 Ln
HarmonicNumber[n]調和数 Hn
HarmonicNumber[n,r]r 次の調和数
BernoulliB[n]ベルヌーイ数 Bn
BernoulliB[n,x]ベルヌーイ多項式 Bn (x)
NorlundB[n,a]Nörlund多項式
NorlundB[n,a,x]一般化されたベルヌーイ多項式
EulerE[n]オイラー数 En
EulerE[n,x]オイラーの多項式 En (x)
StirlingS1[n,m]第1種のスターリング数
StirlingS2[n,m]第2種のスターリング数
BellB[n]ベル数 Bn
BellB[n,x]ベル多項式 Bn (x)
PartitionsP[n]整数n を整数の和に分けるときの分け方の総数 p (n)
IntegerPartitions[n]整数の分け方
PartitionsQ[n]整数n を互いに異なる整数の和に分けるときの分け方の総数 q (n)
Signature[{i1,i2,...}]順列の符号

順列組合せの関数

階乗関数n!は，n 個のものの並べ方の総数を与える．n が整数でないとき，n!の数値は「特殊関数」で説明するガンマ関数から求められる．
2項係数の関数Binomial[n, m]は，と書ける．この関数は，並び順を考慮しないとき，n 個のものの中からのm 個のものの取出し方の数を与える．また，各種の木の枚挙問題に現れるカタラン(Catalan)数は，2項係数により，の関係式で与えられる．
かく乱順列Subfactorial[n]は，オブジェクトがひとつも固定されないn 個のオブジェクトの置換の数を与える．このような置換は乱列と呼ばれる．かく乱順列はn! (-1)k/k!で与えられる．
多項係数Multinomial[n1, n2, ...]は， (N;n1, n2, ..., nm)=N!/ (n1!n2!... nm!)と書け，N 個の異なるものを大きさni のm 個の集合に分ける方法の総数を表す(N=ni)．
Mathematica は，整数の階乗に対しては厳密な整数で結果を返す．
In[1]:=
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Out[1]=
非整数の階乗は，ガンマ関数で評価される．
In[2]:=
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Out[2]=
Mathematica は，2項係数によっては，シンボル的な結果を返すこともできる．
In[3]:=
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Out[3]=
6+5=11個のものを6個と5個のものからなる組に分けるとき，分け方が何通りあるかを調べる．
In[4]:=
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Out[4]=
この結果は，と同じである．
In[5]:=
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Out[5]=
フィボナッチの数Fibonacci[n]は，F1=F2=1のときに漸化式Fn=Fn-1+Fn-2を満たす．この数は離散数学で広く使われる．n を増加させると，Fn/Fn-1は黄金比に近付く．リュカ数LucasL[n]は，初期値がL1=1とL2=3の，フィボナッチ数と同じ循環関係を満足する．
フィボナッチの多項式Fibonacci[n, x]は，式t/ (1-xt-t2)=Fn (x)tn の展開で得られる項tn の係数に当たる．
調和数HarmonicNumber[n]はHn=1/i で与えられる．r 次の調和数HarmonicNumber[n, r]は で与えられる．調和数は多くの組合せ論の推定問題で現れ，しばしば離散化された対数に相当する役割を演じる．
ベルヌーイの多項式BernoulliB[n, x]は，母関数の関係式tex t/ (et-1)=Bn (x)tn/n! を満たす．また，ベルヌーイ数BernoulliB[n]は，Bn=Bn (0)で与えられる．Bn は，近似積分で使われるオイラー・マクローリン(Euler-Maclaurin)総和の式における項の係数に当たる．ベルヌーイ数はジェノッチ数とGn=2 (1-2n)Bn.の関係にある．
ベルヌーイ数の近似値はさまざまな数値計算アルゴリズムで使われる．ベルヌーイ数の数値は，まずBernoulliB[n]を使い厳密な有理値として求めておき，それにNを適用することで求められる．
オイラーの多項式EulerE[n, x]は，母関数の関係式2ex t/ (et+1)=En (x)tn/n! を満たす．また，オイラー数EulerE[n]は，で与えられる．
Nörlund多項式NorlundB[n, a]は母関数の関係式を満足する．Nörlundは，a=1のときベルヌーイ数を返す．a が他の正の整数値である場合，Nörlund多項式は高次のベルヌーイ数を返す．一般化されたベルヌーイ多項式NorlundB[n, a, x] は，簿関数の関係式を満足する．
ベルヌーイの多項式の第2項B2 (x)を求める．
In[6]:=
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Out[6]=
また，実際に母関数に対してベキ級数を計算してもベルヌーイの項は求めることができる．
In[7]:=
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Out[7]=
BernoulliB[n]は，ベルヌーイ数を厳密な有理数として返す．
In[8]:=
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Out[8]=
スターリング数は組合せ理論の枚挙問題によく現れる．第1種のスターリング数StirlingS1[n, m]に対して，は，ちょうどm 回循環するn 個の要素の順列の個数を返す．スターリング数は，母関数の関係式を満たす．注意点として， の定義によっては， (-1)n-m の係数が付くためMathematica の定義と異なる場合がある．
第2種のスターリング数StirlingS2[n, m]はと記述されることもあるが，n 個の要素を空でないm 組の部分集合に分ける上で何通りの分け方があるかを返す．第2種のスターリング数は，の関係式を満たす．
ベル数BellB[n]は，要素数n 個の集合を空ではない部分集合分割する方法の総数を与える．ベル多項式BellB[n, x]は，生成関数関係を満足する．
分割関数PartitionsP[n]は，整数n を正整数の和として順不同で組み合すとき，組合せ方が何通りあるかを返す．PartitionsQ[n]は，和を構成する整数成分が相異するとき，整数n の組合せ方が何通りあるかを返す．
IntegerPartitions[n]は，長さがPartitionsP[n]のn の分割のリストを与える．
第1種のスターリング数の表を作る．
In[9]:=
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Out[9]=
積の展開項の係数がスターリング数に当たる．
In[10]:=
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Out[10]=
これは，4の分割である．
In[11]:=
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Out[11]=
分割数はPartitionsP[4]で与えられる．
In[12]:=
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Out[12]=
100を何通りに分割できるかを調べる．最初は，項が相異なるとし，次は，制約を外した場合である．
In[13]:=
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Out[13]=
分割関数p (n)はに似た形で増加する．注意点として，PartitionsPのような整数だけを引数とする関数は，Plotでは直接プロットすることができない．
In[14]:=
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Out[14]=
ここで説明してきた関数のほとんどは，各種の組合せの数を数えるのに使われる．これらとは違って，IntegerPartitionsやPermutationsのような関数は，要素の組合せそのもののリストを生成するために使われる．
符号関数Signature[{i1, i2, ...}]は順列の符号を返す．偶順列なら+1を返し，奇順列なら-1を返す．偶順列（もしくは，奇順列）とは順列が偶数回（奇数回）の互換（2つの要素の入れ替え）で得られることを指す．符号関数は，交代テンソルであるレビー・チビタ(Levi-Civita)の記号，または，イプシロン記号としてとらえることができる．
ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}]クレプシュ・ゴルダンの係数
ThreeJSymbol[{j1,m1},{j2,m2},{j3,m3}]ウィグナーの 3-j 記号
SixJSymbol[{j1,j2,j3},{j4,j5,j6}]ラカーの 6-j 記号

角運動量の合成に関する係数

クレプシュ・ゴルダン(Clebsch-Gordan)の係数とn-j記号は，量子力学における角運動量の解析や，その他の回転群の応用の問題で使われる．クレプシュ・ゴルダンの係数ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j, m}]は，量子化された角運動量の状態j, mを展開したとき得られる項の係数を状態j1, m1 j2, m2の積で与える．
3-j記号あるいはウィグナー(Wigner)係数のThreeJSymbol[{j1, m1}, {j2, m2}, {j3, m3}]は，クレプシュ・ゴルダンの係数より高い対称性を持つ．Mathematica における定義では，クレプシュ・ゴルダンの係数は，3-j記号に基づいたの関係式で与えられる．
ラカー(Racah)の6-j記号SixJSymbol[{j1, j2, j3}, {j4, j5, j6}]は，3つの量子論的な角運動量の取る結合状態を与える．ラカーの係数と6-j記号は1位相を介し関連している．
3-j記号でシンボル的なパラメータを使っても構わない．
In[15]:=
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Out[15]=
© 2008 Wolfram Research, Inc. japanese.gif
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