组合函数

组合函数.

阶乘函数 给出 个对象排列方法的数目. 对于非整数 ， 的数值由 "特殊函数" 节讨论的伽马函数获得.

二项式系数 Binomial[n, m] 可以被写为 . 它给出 个对象的集合中选取 个对象，不考虑顺序的取法的数目. Catalan 数，它出现在各种树枚举问题中，由二项式系数表示为 .

子阶乘 Subfactorial[n] 给出 个对象的排列数目，其中没有任何对象的位置是固定的. 这样的排列称为错位排列. 子阶乘由 给出.

多项式系数 Multinomial[n₁, n₂, ...]，表示为 ，给出把 个不同对象分到大小为 的 个集合中的分法的数目（其中 ）.

斐波那契数 Fibonacci[n] 满足递归关系 及 . 它们出现在离散数学问题的广泛领域中. 对于足够大的 ， 接近黄金分割. 卢卡斯数 LucasL[n] 满足与斐波那契数同样的递归关系，但是初始条件为 和 .

斐波那契多项式 Fibonacci[n, x] 作为展式 中 的系数出现.

调和数 HarmonicNumber[n] 由 给定； 阶调和数 HarmonicNumber[n, r] 由 给定. 调和数出现在许多组合估计问题中，常常起着算法的离散模拟的作用.

贝努利多项式 BernoulliB[n, x] 满足母函数关系 . 贝努利数 BernoulliB[n] 由 给定. 作为近似积分的欧拉——麦克劳林求和公式中项的系数出现. 贝努利数通过 与 盖诺奇数 联系起来.

贝努利数的数值在许多数值算法中都需要. 首先通过使用 BernoulliB[n] 求出精确的有理结果，再使用 N，总可以得到这个数值值.

欧拉多项式 EulerE[n, x] 有母函数 ，而欧拉数 EulerE[n] 由 所给出.

Nörlund 多项式 NorlundB[n, a] 满足母函数关系 . 当 时，Nörlund 多项式给出贝努利数. 对于 的其它正整数值，Nörlund 多项式给出高阶贝努利数. 一般贝努利多项式 NorlundB[n, a, x] 满足母函数关系 .

斯特林数出现在许多组合枚举问题中. 对于第一类斯特林数 StirlingS1[n, m]， 给出包含 个圈的 个元素的排列数目. 斯特林数满足母函数关系 . 注意某些 的定义与 Mathematica 中的不同，差别在于因子 .

第二类斯特林数 StirlingS2[n, m] 给出把 个元素的集合分到 个非空子集的分法的数目，有时表示为 . 它们满足关系 .

贝尔数 BellB[n] 给出把 个元素的集合划分为非空子集的划分方法总数. 贝尔多项式 BellB[n, x] 满足母函数关系.

划分函数 PartitionsP[n] 给出把整数 写为正整数的和，不考虑顺序的方法的数目. PartitionsQ[n] 给出把整数 写为正整数的和，并且和中的整数是互不相同的写法的数目.

IntegerPartitions[n] 给出 的划分列表，其长度为 .

本节中的绝大多数函数允许用户列举各种组合对象. 函数如 IntegerPartitions 和 Permutations 允许用户生成元素的各种组合的列表.

标记函数 Signature[{i₁, i₂, ...}] 给出排列的标记. 对偶排列（由偶次移项构成的）它等于 ，对奇排列它等于 . 标记函数可以看作是完全反对称的张量，Levi-Civita 符号 或 epsilon 符号.

旋转耦合系数.

Clebsch-Gordan系数和 -j 符号出现在量子力学中的角动量中，以及循环群应用的研究中. Clebsch-Gordan系数ClebschGordan[{j₁, m₁}, {j₂, m₂}, {j, m}] 给出量子力学的角动量状态 按照状态 的乘积展开的系数.

3-j 符号 或者 Wigner 系数 ThreeJSymbol[{j₁, m₁}, {j₂, m₂}, {j₃, m₃}] 是 Clebsch-Gordan 系数的更对称的形式. 在 Mathematica 中，Clebsch-Gordan系数根据 3-j 符号 来给出.

6-j 符号 SixJSymbol[{j₁, j₂, j₃}, {j₄, j₅, j₆}] 给出三个量子力学的解动量状态的耦合. Racah 系数 通过相位联系到 6-j 符号.