ベキ級数の合成と逆関数

ベキ級数を操作するとき,級数を,合成したり逆関数が取れる一種の関数を表すものととらえると便利なことがある.

ComposeSeries[series1,series2,...]ベキ級数を合成
InverseSeries[series,x]ベキ級数の逆関数を取る

ベキ級数の合成と逆関数

までベキ級数展開する.
In[1]:=
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Out[1]=
のベキ級数の持つ変数 のベキ級数で置換される.
In[2]:=
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Out[2]=
をベキ級数展開する.
In[3]:=
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Out[3]=

方程式 について解くとき,関数 についてベキ級数が存在するのであれば,この級数を使った近似解を得ることが可能になることがよくある.このベキ級数は結局, となる逆関数 を与えていることになる.逆関数に関するベキ級数を求めることをベキ級数の復帰ともいう.

のベキ級数を例に見てみる.
In[4]:=
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Out[4]=
級数の逆関数を取る. の級数が求まる.
In[5]:=
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Out[5]=
これは, の直接の級数と一致する.
In[6]:=
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Out[6]=
級数をその逆関数と合成する.すると,恒等関数が得られる.
In[7]:=
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Out[7]=
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