Mathematica 中约束最优化介绍

约束最优化问题是在约束条件 下最小化或最大化一个函数 的一类问题. 这里 称为目标函数， 而 是一个布尔值的公式. 在 Mathematica 中约束条件 可以是等式 ，弱不等式 ，严格不等式 和 语句的任意一个布尔组合. 我们将使用下面的符号表示.

代表"在约束条件 下最小化 "，而

代表"在约束条件 下最大化 " .

我们可以说一个点 满足约束条件 ，如果 的值为true.

下面我们对约束最优化问题进行更确切的描述，为简要起见，我们的讨论范围限制在最小化问题上.

我们说点 是 在约束条件 下的一个全局最小值点，如果 满足这些约束条件并且对于任意满足这些约束条件的点 都有 .     

我们说值 是 在约束条件 下的一个全局最小值，如果对于任意满足约束条件的点 都有.     

全局最小值 对于任意 和 都存在. 我们可以得到全局最小值 ，如果存在一个点 满足 的值为 true 并且. 这样的一个点 必然是全局最小值.    

如果 是一个连续函数并且满足约束条件 的点集是紧緻的(闭集并且有界) 和非空的，那么一个全局最小值是存在的. 否则一个全局最小值可能存在也可能不存在.    

我们说点 是 在约束条件 下的一个局部最小值，如果 满足约束条件，并且对于某 ，如果 满足 ，那么 .    

一个局部最小值可能不是全局最小值. 一个全局最小值总是局部最小值.     

用以求解局部和全局最优化问题的方法取决于特定问题的类型. 最优化问题可以根据一些不同的标准分类. 根据所涉及到的函数类型，我们有线性和非线性 (多项式、代数、超越、 ...) 最优化问题. 如果约束条件涉及 ，我们就有了整数以及整数-实数混合最优化问题. 此外，最优化算法可分为数值和符号化 (精确) 算法.     

关于约束最优化的 Mathematica 函数包括 Minimize、Maximize、关于全局约束最优化的NMinimize、NMaximize、关于局部约束最优化的 FindMinimum 和提供了对线性规划方法有效直接应用的 LinearProgramming. 下面的表格对各个函数进行了简要的总结.     

这里是一个帮助决定使用哪个最优化函数的决策树.