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卷积和相关

卷积和相关是多种数据列表运算的核心. 它们被用于信号和图像处理，统计数据分析，偏微分方程的近似，以及数列和幂级数的运算等领域.
卷积和相关的基本思想是将列表依次与数据列表的子列表进行组合. 核 与列表 的卷积的一般形式为 ，而相关的一般形式为 .
ListConvolve[kernel,list]构造 kernel 与 list 的卷积
ListCorrelate[kernel,list]构造 kernel 与 list 的相关

列表的卷积和相关.

这里构造核 与数据列表的卷积.
In[1]:=
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Out[1]=
这里构造相关.
In[2]:=
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Out[2]=
此情形中颠倒核元素的次序得出与卷积 ListConvolve 相同的结果.
In[3]:=
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Out[3]=
这里构造数据的依次相减.
In[4]:=
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Out[4]=
在与一个核结合构造子列表中，在数据列表的末尾总有一个事情要做. 缺省时，ListConvolve 和 ListCorrelate 绝不会构造"延伸"数据列表的末端的子列表. 这意味着得到的输出通常比原数据列表短.
此例中，输入列表长度是6，而输出的长度是4.
In[5]:=
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Out[5]=
实际上，人们常常希望得到与原数据列表一样长的输出. 要做到这一点，需要包含延伸原数据列表一端或两端的子列表. 构造这些子列表所需的额外元素必须用某种"补丁"来填充. 缺省时，Mathematica 取原列表的拷贝作为补丁. 这样将列表周期地进行处理.
ListCorrelate[kernel,list]不允许在两边延伸（结果比 list 短）
ListCorrelate[kernel,list,1]允许在右边延伸（结果与 list 的长度相同）
ListCorrelate[kernel,list,-1]允许在左边延伸（结果与 list 的长度相同）
ListCorrelate[kernel,list,{-1,1}]允许在两边延伸（结果比 list 长）
ListCorrelate[kernel,list,{kL,kR}]允许在左边和右边进行特定的延伸

控制数据列表末端的处理方式.

缺省时不包含延伸.
In[6]:=
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Out[6]=
此处最后一个元素的最后一项来自原列表的开头.
In[7]:=
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Out[7]=
此处第一个元素的第一项和最后一个元素的最后一项都包含重叠.
In[8]:=
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Out[8]=
一般情况下，ListCorrelate 被设置为结果的第一个元素中包含 list 的第一个元素与 kernel 在位置 处的元素的乘积，结果的最后一个元素中包含 list 的最后一个元素与 kernel 在位置 处的元素的乘积. 缺省情形下，不允许在任何一端有延伸，因此对应于 ListCorrelate.
对长度为3的核， 总是使结果的第一个和最后一个元素相同.
In[9]:=
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Out[9]=
对于多种数据，不假定数据是周期的，而用某个固定元素，如零或某个元素序列在列表的每端进行补充常常是很方便的.
ListCorrelate[kernel,list,klist,p]用元素 p 补充
ListCorrelate[kernel,list,klist,{p1,p2,...}]
用 的循环进行补充
ListCorrelate[kernel,list,klist,list]用原数据的循环进行补充

数据列表补充的控制.

这里用元素 补充.
In[10]:=
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Out[10]=
一个常见的情况是用零补充.
In[11]:=
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Out[11]=
当使用 表明补充操作时，列表 用在 下对齐的 覆盖 .
In[12]:=
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Out[12]=
选择不同的核能使 ListConvolve 和 ListCorrelate 用于不同类型的运算.
这里求数据的移动平均值.
In[13]:=
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Out[13]=
这是一个高斯核.
In[14]:=
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这里生成一些"数据".
In[15]:=
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这是该数据的图形.
In[16]:=
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Out[16]=
求高斯核与该数据的卷积.
In[17]:=
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结果是该数据得到了磨光.
In[18]:=
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Out[18]=
可以使用 ListConvolve 和 ListCorrelate 处理符号和数值数据.
这里构造两个符号列表的卷积.
In[19]:=
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Out[19]=
其结果精确地对应于这两个多项式乘积展开形式中的系数.
In[20]:=
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Out[20]=
ListConvolve 和 ListCorrelate 对任意维数的数据都有效.
这是从一个文件中导入图像数据.
In[21]:=
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这是该图像.
In[22]:=
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Out[22]=
这里求图像数据与二维核的卷积.
In[23]:=
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这里显示了对应于数据卷积德图像.
In[24]:=
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Out[24]=
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