MATHEMATICAチュートリアル

特殊関数を含む解を持つ方程式

多くの二階常微分方程式の解は特殊関数で表すことができる.一定の高階常微分方程式の解は,AiryAiBesselJ等の特殊関数を使って表すこともできる.

次の三階常微分方程式の解はエアリー(Airy)関数の積で与えられる.
In[1]:=
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Out[1]=
この三階常微分方程式の解は,ベッセル(Bessel)関数で与えられる.
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Out[2]=
次のプロットは実線の異なる部分での解の振動挙動を示す.
In[3]:=
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Out[3]=
以下の四階線形常微分方程式の解は,HypergeometricPFQで表される.
In[4]:=
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In[5]:=
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Out[5]=
数値を使って,解が正しいことを検証する.
In[6]:=
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Out[6]=

二階線形常微分方程式の場合と同様に,有理係数を持つ高階常微分方程式を解く現代的アルゴリズムがある.このようなアルゴリズムは,有理関数と,有理関数の積分の指数関数との組合せである「有理数指数」解を与える.アルゴリズムは,与えられた常微分方程式の完全解を求めるために階数の減少等の技法と組み合せられる.

下の方程式の一般解には,有理項1つとエアリー関数に依存する項が複数ある.エアリー関数は,方程式の階数を2に減らしたために生じる.
In[7]:=
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Out[7]=

ここまでに提示した方程式は同次方程式である.つまり,方程式に あるいはその導関数を持たない項がない.与えられた常微分方程式が非同次ならば,DSolveは定数変形法を適用して解を得る.

このタイプの例である.解の指数項は,同次方程式の一般解から派生し,残りの解は問題の特殊解(特殊積分)である.
In[8]:=
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Out[8]=
同次方程式の一般解である.
In[9]:=
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Out[9]=
この特殊解は,非同次方程式の一般解の一部である.
In[10]:=
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Out[10]=

従って,非同次方程式の一般解は,同次方程式の一般解と常微分方程式の特殊積分との和である.

高階非線形常微分方程式の解法は,問題を低階に還元することにかなり依存している.

にも にも明示的に依存しない三次非線形常微分方程式である.これは簡単な積分を使って,階数を二階に減じることで解かれる.
In[11]:=
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Out[11]=
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