精确可解的高阶方程的更多例子

许多二阶常微分方程的解可以用特殊函数表示. 某些高阶常微分方程的解也可以使用 AiryAiBesselJ 和其它特殊函数表示.

下面三阶常微分方程的解由 Airy 函数的积给出.
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这个三阶常微分方程的解由贝塞尔函数给出.
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该图显示了在实轴上的不同部分解的振荡行为.
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这个四阶线性常微分方程的解是用 HypergeometricPFQ 表示的.
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这里使用数值解验证解的正确性.
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如同二阶线性常微分方程一样,我们有现代算法来求解具有有理系数的高阶常微分方程. 这些算法给出"有理-指数"解,这是有理函数和有理函数积分的指数的组合. 这些算法与一些技术(如降阶)相结合来产生给定常微分方程的完整解.

该方程的通解具有有理项和取决于Airy函数的项. 该 Airy 函数来自于把方程的阶数降为2.    
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Out[7]=

到目前为止,我们所考虑的方程都是齐次方程;即每一项都具有 或其导数. 如果给定的常微分方程不是齐次的,那么 DSolve 应用参数变化(variation of parameters )的方法来获得解.

下面是这种类型的一个例子. 解中的指数项来自齐次方程的通解,而剩下的项是该问题的特解(或特积分).    
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Out[8]=
这是该齐次方程的通解.
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这个特解是该非齐次方程的通解的一部分.
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Out[10]=

因此,非齐次方程的通解是齐次方程的通解和该常微分方程的特积分的和.

高阶非线性常微分方程的解法很大程度上依赖于把问题简化为某种低阶的问题.    

这是一个没有明确依赖于 或者 的非线性三阶常微分方程. 它是通过使用简单的积分把问题简化为2阶来求解的.
In[11]:=
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Out[11]=
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