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初期値および境界値問題:はじめに

DSolveでは,主に微分方程式や微分方程式系の一般解を見付けることができる.一般解は,問題の完全な解空間の構造についての情報を与える.しかし,実際には,応用分野に関連した条件を満足する特殊解のみが知りたいという場合もよくある.このような条件には通常次のような2つの種類がある.

  • ある単独の点における特殊値を知るために,のような解 および/またはその導関数が必要とされる.この場合,系は固定された初期値(この場合は0)から進化し始めると仮定されるため,このような問題は初期値問題(IVP)と呼ばれる.
    • 1対の点における特殊値を知るために,および のような 解が必要とされる.この場合,点0および1は,その応用において関心のある領域の境界点(線)とみなされるため,このような問題は境界値問題(BVP)と呼ばれる.

    初期値問題と境界値問題のどちらの記号解法でも,問題の一般解が分かっていなければならない.初期値,境界値を使って特殊解を得るという最終段階は,ほとんど代数的に操作され,初期値問題に対するものと境界値問題に対するものは類似している.

    線形微分方程式の初期値問題および境界値問題では,代数的操作の最終段階が線形方程式の解法であるため,かなり簡単に解くことができる.しかし,内在する方程式が非線形である場合,解にいくつかの分岐があったり,一般解の任意定数が超越関数の異なる引数に現れたりすることがある.その結果,非線形の問題では,最終の代数操作が常に完了できるとは限らない.また,内在する方程式に区分(不連続)係数がある場合,初期値問題は係数が連続となっている領域上で,自然に簡単な初期値問題へと分割される.

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