初值边值问题概述

DSolve 可以用来求一个微分方程或者微分方程组的通解. 该通解给出问题的完整解空间结构的信息. 但是,在实际应用中,人们经常只对于满足与应用领域相关的一些条件的特定解感兴趣. 这些条件经常具有两种类型.

  • 和/或其导数要在某个点具有具体值,例如 . 这样的问题传统上称为初值问题(IVP)因为假设该系统从固定的初始点(在这种情况下为0)开始演化.
    • 要在一对点上具有具体值,例如 . 这样的问题被称为边值问题(BVP),因为点 0 和 1 被当作是应用中所感兴趣的区域的边界点(或者边).

    初值问题和边值问题的符号解要求对问题通解的认识. 最后一步是使用初值或者边值来得到特解,所包含的大部分是代数操作,并且对初值问题和边值问题是相似的.

    线性微分方程的初值问题和边值问题相当容易求解,因为最后的代数步骤包含了线性方程的求解. 然而,如果所讨论的方程是非线性的,则解可能具有几个分支,或者通解的任意常量可能出现在超越函数的不同变量中. 结果,我们并不是总有可能完成非线性问题的最后的代数步骤. 最后,如果所讨论的方程具有分段(即不连续)系数,初值问题自然地分解为系数连续的区域中的更简单的初值问题.

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