MATHEMATICAチュートリアル

有理係数を持つ二階線形常微分方程式

ベッセル(Bessel)関数やルジャンドル(Legendre)関数等の多くの重要な関数は超幾何関数の特殊形なので,超幾何関数は数学解析で統合的な役割を果たす.各超幾何関数は,有理係数を持つ線形常微分方程式と関連している.

Hypergeometric2F1関数の常微分方程式である.
In[1]:=
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Out[1]=

DSolveは,二階線形常微分方程式を超幾何関数の常微分方程式に還元することによって,そのクラスの多くを解くことができる.還元には,独立変数と従属変数両方の座標変換が関与する.

以下の方程式は,Hypergeometric2F1の常微分方程式と等価である.
In[2]:=
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Out[2]=
数値を使って解を検証する.
In[3]:=
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Out[3]=
下の方程式の解は,HypergeometricU(合流型超幾何関数)とLaguerreLで返される.この例は,[K59]の403ページの方程式2.16に記載されている.
In[4]:=
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Out[4]=

特殊関数の常微分方程式は,18世紀から研究されている.この30年の間に,有理係数を持つ常微分方程式を系統的に解くためのパワフルなアルゴリズムが開発されてきた.このタイプのアルゴリズムで重要なものに,コバシック(Kovacic)法がある.これは,与えられた常微分方程式の解をリュービル(Liouvillian)関数で生成するか,与えられた常微分方程式がリュービル解を持たないことを証明するかのどちらかを行う決定手続きである.

コバシック法を使って,この方程式を解く.
In[5]:=
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Out[5]=

コバシック法で返される解には,ExpIntegralEi等の関数や初等関数の未評価の積分が含まれることがある.その理由は,二階線形常微分方程式のひとつの解が分かった後で,第2解を見付けるのは簡単であるが,第2解を求めるのに関与する積分は,明示的に評価するのが難しいためである.

この方程式の解は,コバシック法で得られる.解にはExpIntegralEiが含まれている.
In[6]:=
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Out[6]=

一般に,有理数係数を持つ二階以上の線形常微分方程式の解は,DifferentialRootオブジェクトで与えられる.これはRootによる多項方程式の解に似ている.

以下の方程式の解はDifferentialRootで与えられる.
In[7]:=
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Out[7]=
解は通常通り評価したりプロットしたりすることができる.
In[8]:=
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Out[8]=
In[9]:=
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Out[9]=
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