具有有理系数的线性二阶常微分方程

超几何函数在数学分析中发挥着统一的作用,因为许多重要函数,如贝塞尔函数和勒让德函数,都是它们的特殊情况. 每个超几何函数与一个具有有理系数的线性常微分方程相关.

下面是 Hypergeometric2F1 函数的常微分方程.
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=

DSolve 可以通过把它们化简为超几何函数的常微分方程求解一大类二阶线性常微分方程. 化简过程涉及了自变量和应变量的坐标转换.

下面的方程等价于关于 Hypergeometric2F1 的常微分方程.
In[2]:=
Click for copyable input
Out[2]=
这里使用数值值来验证解.
In[3]:=
Click for copyable input
Out[3]=
下面方程的解以 HypergeometricU (合流超几何函数)和 LaguerreL 的形式返回. 这个例子出现在([K59]的第403页的方程2.16).     
In[4]:=
Click for copyable input
Out[4]=

特殊函数的常微分方程的研究从19世纪就开始了. 在过去的30年来,人们已经开发出强大的算法来系统地求解具有有理系数的常微分方程. 这种类型的一个重要算法是 Kovacic 算法 ,它是一种决策过程,或者以 Liouvillian 函数的形式产生给定常微分方程的解,或者证明给定的常微分方程不具有 Liouvillian 解.

这个方程使用 Kovacic 算法来求解.
In[5]:=
Click for copyable input
Out[5]=

从 Kovacic 算法返回的解可能偶尔包括函数如 ExpIntegralEi 或者初等函数的一个未计算的积分,这是因为虽然一旦已知一个二阶线性常微分方程的一个解,很容易找到第二个解,然而,在找到第二个解中涉及的积分可能很难明确计算出来.

这个方程的解通过使用 Kovacic 算法获得. 它包含 ExpIntegralEi.
In[6]:=
Click for copyable input
Out[6]=

在一般情况下,具有有理系数并且阶数大于1的线性常微分方程的解可以以 DifferentialRoot 的对象的形式给出. 这与用 Root 的形式表示多项式方程的解的方法类似.

这个方程的解以 DifferentialRoot 的形式给出.
In[7]:=
Click for copyable input
Out[7]=
该解可以使用通常方式计算和绘制.
In[8]:=
Click for copyable input
Out[8]=
In[9]:=
Click for copyable input
Out[9]=
New to Mathematica? Find your learning path »
Have a question? Ask support »