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MATHEMATICA 教程
二阶偏微分方程
这里 
，并且 
、
、
、
、
、
和 
仅仅是 
和 
的函数——它们不依赖于 
. 如果 
，则称该方程是齐次的.
包含二阶导数的前三项称为偏微分方程的主部（ principal part ）. 它们确定了方程通解的性质. 事实上，主部的系数可以用来对该偏微分方程进行如下分类.
偏微分方程称为是椭圆的，如果 
. 拉普拉斯方程具有 
，
和 
，因此是一个椭圆型偏微分方程.
偏微分方程称为是双曲的，如果 
. 波动方程具有 
，
和 
，因此它是一个双曲型偏微分方程.
偏微分方程称为是抛物线的，如果 
. 热方程具有 
，
和 
，因此它是一个抛物线型偏微分方程.
DSolve 可以找到一个严格类型的齐次线性二阶偏微分方程的通解；方程的形式如下
这里 
、
和 
是常量. 因此，DSolve 假定该方程具有常系数和一个消失的非主部部分.
下面是这三种基本型（椭圆、双曲和抛物）的一些例子，以及它们的重要性的解释.
下面是 拉普拉斯方程 ——一个椭圆型偏微分方程的通解.
| In[1]:= |
| In[2]:= |
| Out[2]= |  |
该通解包含两个任意函数，C[1] 和 C[2]. 这些函数的变量 
和 
表明当 C[2]=0 时，沿着虚直线 
的解是常量，当 C[1]=0 时沿着 
的解是常量. 这些直线称为该偏微分方程的特性曲线. 一般说来，椭圆型偏微分方程具有虚特性曲线.
| In[3]:= |
| Out[3]= |  |
| In[4]:= |
| In[5]:= |
| Out[5]= |  |
| In[6]:= |
| Out[6]= |  |
| In[7]:= |
| In[8]:= |
| Out[8]= |  |
波动方程的特性曲线为 
和 
，其中 
是一个任意常数. 因此，该波动方程（或任何双曲型偏微分方程）具有两个实特性曲线族. 如果该波动方程的初始条件被指定，则解沿着特征线传播. 此外，任何特征线对决定了在它们交点处的观测者的零锥（null cone）.
| In[9]:= |
| Out[9]= |  |
| In[10]:= |
| In[11]:= |
| Out[11]= |  |
| In[12]:= |
| Out[12]= |  |
| In[13]:= |
| Out[13]= |  |
| In[14]:= |
| In[15]:= |
| Out[15]= |  |
该方程只具有一个实特征族，即线族 
. 事实上，任意抛物线型偏微分方程只具有一个实特征族.
| In[16]:= |
| Out[16]= |  |
