MATHEMATICAチュートリアル

線形常微分方程式系

以下の2つの常微分方程式系の係数行列は,実数で異なる固有値を持つ.
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Out[2]=
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以下のようにして系を解く.一般解は2つの任意定数C[1]C[2]に依存している.
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Out[5]=
C[1]C[2]に特定の値を与えることにより得られたいくつかの特殊解のプロットである.この場合,原点はノードと呼ばれる.
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Out[7]=
以下の系では,係数行列の固有値は互いの複素共役となっている.
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Out[9]=
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系を解く.
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Out[12]=
以下は,任意パラメータのさまざまな値に対する解をプロットする.螺旋動作は,複素固有値を持つ系では一般的である.
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Out[14]=

定数係数を持つ任意階の同次常微分方程式は,簡単に解ける.このような方程式は,一階常微分方程式系に変換して解く.

以下で,定数係数三階同次常微分方程式系を解く.
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Out[16]=
解を検証する.
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Out[17]=

一般に,非定数係数線形常微分方程式系は,次の例で示すように,係数行列が単純な構造である場合にのみ解くことができる.

下の一階の系には,対角係数行列がある.この系の最初の方程式には だけが含まれており,2つ目の方程式は だけに依存しているため,この系は非結合である.従って,系の各方程式は他方に依存することなく積分できる.
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Out[18]=
この系の係数行列の行は,ベクトルの直交成分を形成する.
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Out[20]=
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In[22]:=
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Out[23]=
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Out[24]=
次は3つの一階常微分方程式からなる系である.係数行列は上三角係数行列である.
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Out[26]//MatrixForm=
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Out[29]=

単独常微分方程式の場合と同様に,有理係数を持つ常微分方程式系を解くためにも高度なアルゴリズムが使える.

有理係数を持つ2つの一階常微分方程式からなる系を解く.解は完全に有理関数になっている.
In[30]:=
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Out[30]=
以下の例では,アルゴリズムによって および の有理解が1つ見付かっている(の方程式は系に含まれる他の方程式と非結合である).DSolveはこの有理解を使って,および の残りの指数解を求めることができる.
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Out[32]=
In[33]:=
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Out[33]=

ここまでの系はすべて同次であった.系が非同次(つまり,従属変数およびその導関数を含まない項がある場合)ならば,DSolveは定数変化法か未定係数法を適用して,一般解を見付ける.

非同次系を解く.
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In[36]:=
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In[37]:=
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Out[38]=

非同次系の特殊解は,定数C[1]およびC[2]に値を割当てることで得られる.

パラメータを1つ選んだときの解のプロットである.
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In[40]:=
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Out[40]=
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