线性联立常微分方程组

下面是由两个常微分方程组成的方程组,其中,系数矩阵具有实的不同特征值.
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Out[2]=
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这里求解该方程组. 请注意,通解依赖于两个任意常数 C[1]C[2].
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Out[5]=
下面是通过给出 C[1]C[2] 的特定值而得到的某些特解的图示. 在这种情况下,原点是一个所谓的节点.    
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Out[7]=
在这个方程组中,系数矩阵的特征值是互为共轭的复数.
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这里求解了该方程组.
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Out[12]=
这里对任意参数的不同值画出解的图形. 这种螺旋(spiraling)行为对于具有复特征值的方程组是典型的.
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Out[14]=

求解系数为常量并且具有任意阶数的常微分方程组成的齐次方程组是一项简单的事. 它们是通过转化为一阶常微分方程组来求解的.

这里求解阶数为3、系数为常量的常微分方程的齐次方程组.
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Out[16]=
这里验证解的正确性.
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Out[17]=

一般来说,具有非常量系数的联立线性常微分方程组只能在系数矩阵具有一个简单结构的情况下,才能被求解,如下面的例子所示.

这个一阶方程组具有对角系数矩阵. 该方程组是非耦合的(uncoupled )因为第一个方程只涉及,而第二个方程只依赖于 . 因此,方程组中的每个方程可以独立于其它方程进行积分.
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Out[18]=
该方程组的系数矩阵的行构成了向量的一个正交集合.
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Out[20]=
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Out[23]=
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Out[24]=
下面是三个一阶常微分方程组成的联立方程组. 该系数矩阵是上三角的.
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Out[26]//MatrixForm=
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Out[29]=

对于单个常微分方程,已有成熟的现代算法来求解具有有理系数的常微分方程组.

这里求解由两个具有有理系数的一阶常微分方程组成的方程组. 请注意,解完全由有理函数组成.
In[30]:=
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Out[30]=
在下面的例子中,该算法找到 的一个有理解. ( 的方程与方程组的其余部分是不耦合的.)使用有理解,DSolve 能够找到 的其余指数解.
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Out[32]=
In[33]:=
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Out[33]=

到目前为止所考虑的方程组都是齐次的. 如果该方程组是非齐次的(即,如果有不包含应变量和它们的导数的项),DSolve 或者应用参数变换法或者应用待定系数法来求得通解.

这里求解非齐次方程组.
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In[36]:=
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In[37]:=
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In[38]:=
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Out[38]=

方程组的特解可以通过对常量 C[1]C[2] 赋值来得到.

这里对参数的某种选择,画出解的图形.
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In[40]:=
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Out[40]=
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