定积分

Integrate[f,x]不定积分
Integrate[f,{x,xmin,xmax}]定积分
Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
重积分

积分函数.

这里是积分 .
In[1]:=
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Out[1]=
这是重积分 .
In[2]:=
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Out[2]=
先对 积分, 其积分限可用 值表示. 计算次序与函数 SumTable 中的一致.
In[3]:=
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Out[3]=

对简单情形,求定积分可通过先求不定积分然后计算相应积分限处的值. 但许多函数的不定积分不能用标准数学函数表出,但其定积分仍能求出.

这个不定积分不能用标准数学函数表出.
In[4]:=
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Out[4]=
然而这个定积分能用贝塞尔函数给出.
In[5]:=
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Out[5]=
这个积分的不定积分可以求出,但直接计算定积分更方便.
In[6]:=
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Out[6]=
被积函数包含特殊函数,其定积分却不一定复杂.
In[7]:=
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Out[7]=
这个结果中还是出现了特殊函数.
In[8]:=
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Out[8]=
这个被积函数是简单的,但其定积分却很复杂.
In[9]:=
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Out[9]=

即使能求出函数的不定积分,如果只管将积分上下限处的值相减,还是往往会导致错误. 原因在于积分区域中可能有奇点.

这里是 的不定积分.
In[10]:=
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Out[10]=
端点处的极限值相减.
In[11]:=
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Out[11]=
实际上, 是双重极点,此定积分是发散的.
In[12]:=
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Out[12]=
这里是一个更妙的例子,其中包括分支线.
In[13]:=
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Out[13]=
端点处的极限值相减得0.
In[14]:=
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Out[14]=
然而该定积分的正确结果依赖于 . 假定保证了函数的收敛.
In[15]:=
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Out[15]=
Integrate[f,{x,xmin,xmax},PrincipalValue->True]
定积分的柯西主值

主值积分.

这是 的不定积分.
In[16]:=
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Out[16]=
处的极限值相减产生一个包含 的奇怪结果.
In[17]:=
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Out[17]=
Riemann 意义下的定积分是发散的.
In[18]:=
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Out[18]=
而柯西主值意义下该积分是有限的.
In[19]:=
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Out[19]=

不定积分中包含参数时,基本上得到的结果对参数取所有值都正确. 但对定积分不再是如此. 最常见的问题是,定积分收敛,参数必须满足一定条件.

这个不定积分对所有 都是正确的.
In[20]:=
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Out[20]=
但对定积分, 必须满足一个条件才能保证积分的收敛.
In[21]:=
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Out[21]=
被 2 取代时,条件被满足.
In[22]:=
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Out[22]=
选项名称
默认值
GenerateConditionsAutomatic是否生成显示条件
Assumptions$Assumptions假定的参数关系

Integrate 的选项.

假定 , 结果为 .
In[23]:=
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Out[23]=

即使定积分收敛,积分路径上奇点的存在也会导致结果随参数变化而不连续. 有时能使用包含如 Sign 函数的单个公式归纳结果. 然而,其它情形下使用显式 If 更方便.

此处 If 给出积分收敛的条件.
In[24]:=
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Out[24]=
这是假定 为实数的结果.
In[25]:=
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Out[25]=
结果关于 是不连续的. 不连续的原因是 的本性奇点.
In[26]:=
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Out[26]=
结果不能用 Sign 的形式方便表示, 因此 Mathematica 生成显式 If.
In[27]:=
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Out[27]=
这是上一结果作为 的函数的图形.
In[28]:=
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Out[28]=
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