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MATHEMATICA 教程
特征值和特征向量
| Eigenvalues[m] | m 的特征值列表 |
| Eigenvectors[m] | m 的特征向量的列表 |
| Eigensystem[m] | 形如  （{特征值，特征向量}）的列表 |
| Eigenvalues[N[m]]等. | 数字特征值 |
| Eigenvalues[N[m,p]]等. | p 位精度的数字特征值 |
| CharacteristicPolynomial[m,x] | m 的特征多项式 |
是矩阵 
的特征值是指存在非零向量 
使得 
. 则称 
为特征向量.
一个 
×
矩阵的特征多项式 CharacteristicPolynomial[m, x] 由 Det[m-x IdentityMatrix[n]] 给出. 特征值是这个多项式的根.
求 
×
矩阵的特征值一般涉及到求 
次多项式方程. 因此，对 
，结果一般不能用显式根式来表达. 然而，总是可以使用 Root 对象，尽管除了相当稀疏或简单的矩阵之外所得的表达式是很复杂的.
| In[1]:= |
| Out[1]= |  |
对近似实数矩阵，Mathematica 将求出近似数值特征值和特征向量.
| In[2]:= |
| Out[2]= |  |
| In[3]:= |
| Out[3]= |  |
| In[4]:= |
| Out[4]= |  |
| In[5]:= |
| Out[5]= |  |
| In[6]:= |
| Out[6]= |  |
| In[7]:= |
| Out[7]= |  |
对 
×
矩阵，Eigenvalues 总是给出一个 
个特征值的列表. 特征值是矩阵的特征多项式的根，可能是相同的. 另一方面，Eigenvectors 给出相互独立的特征向量的列表. 当特征向量的数目小于 
时，Eigenvectors 将在列表中添加零向量，使列表的长度总为 
.
| In[8]:= |
| Out[8]= |  |
| In[9]:= |
| Out[9]= |  |
但是，该矩阵仅有一个独立的特征向量. 此时，Eigenvectors 添加两个零向量给出总共三个向量.
| In[10]:= |
| Out[10]= |  |
| In[11]:= |
| Out[11]= |  |
| Eigenvalues[m,k] | m 的最大的 k 个特征值 |
| Eigenvectors[m,k] | m 的相应的特征向量 |
| Eigensystem[m,k] | m 的最大的 k 个特征值以及相应的特征向量 |
| Eigenvalues[m,-k] | m 的最小的 k 个特征值 |
| Eigenvectors[m,-k] | m 的相应的特征向量 |
| Eigensystem[m,-k] | m 的最小的 k 个特征值以及相应的特征向量 |
Eigenvalues 对数值特征值进行排序，使得绝对值大的排在最先. 在很多情况下，也许仅对矩阵的最大或最小的特征值感兴趣. 能用 Eigenvalues[m, k] 和 Eigenvalues[m, -k] 来得到它们.
| In[12]:= |
| Out[12]= |  |
| In[13]:= |
| Out[13]= |  |
| In[14]:= |
| Out[14]= |  |
| Eigenvalues[{m,a}] | 相对于 a 的 m 的广义特征值 |
| Eigenvectors[{m,a}] | 相对于 a 的 m 的广义特征向量 |
| Eigensystem[{m,a}] | 相对于 a 的 m 的广义特征系统 |
| CharacteristicPolynomial[{m,a},x] | 相对于 a 的 m 的广义特征多项式 |
相对于矩阵 
的，矩阵 
的广义特征值定义为使得 
成立的那些 
.
广义特征值对应于广义特征多项式 Det[m-x a] 的零点.
注意，尽管普通矩阵的特征值总有确定数值，如果广义特征多项式变为零，某些广义特征值将总是 Indeterminate，这会在 
和 
共享一个零空间时发生. 也注意，广义特征值可以是无穷的.
这两个矩阵共享一个一维的零空间，所以一个广义特征值是 Indeterminate.
| In[15]:= |
| Out[15]= |  |
| In[16]:= |
| Out[16]= |  |
