MATHEMATICA 教程

特征值和特征向量

Eigenvalues[m]	m 的特征值列表
Eigenvectors[m]	m 的特征向量的列表
Eigensystem[m]	形如（{特征值，特征向量}）的列表
Eigenvalues[N[m]]等.	数字特征值
Eigenvalues[N[m,p]]等.	p 位精度的数字特征值
CharacteristicPolynomial[m,x]	m 的特征多项式

特征值和特征向量.

是矩阵

的特征值是指存在非零向量

使得

. 则称

为特征向量.

一个

矩阵的特征多项式 CharacteristicPolynomial[m, x] 由 Det[m-x IdentityMatrix[n]] 给出. 特征值是这个多项式的根.

求

矩阵的特征值一般涉及到求

次多项式方程. 因此，对

，结果一般不能用显式根式来表达. 然而，总是可以使用 Root 对象，尽管除了相当稀疏或简单的矩阵之外所得的表达式是很复杂的.

即使这么简单的矩阵，特征值的显式形式也是相当复杂的.

In[1]:=

Out[1]=

对近似实数矩阵，Mathematica 将求出近似数值特征值和特征向量.

这是一个 2×2 数值矩阵.

In[2]:=

Out[2]=

该矩阵有两个特征值，均为实数.

In[3]:=

Out[3]=

这是

的两个特征向量.

In[4]:=

Out[4]=

Eigensystem 同时计算特征值和特征向量，给

赋以特征值列表，给

赋以特征向量列表.

In[5]:=

Out[5]=

这里证实第一个特征值和特征向量满足适当的条件.

In[6]:=

Out[6]=

这里求 4×4 随机矩阵的特征值，对非对称矩阵，特征值会有虚部.

In[7]:=

Out[7]=

对

矩阵，Eigenvalues 总是给出一个

个特征值的列表. 特征值是矩阵的特征多项式的根，可能是相同的. 另一方面，Eigenvectors 给出相互独立的特征向量的列表. 当特征向量的数目小于

时，Eigenvectors 将在列表中添加零向量，使列表的长度总为

这是一个 3×3 矩阵.

In[8]:=

Out[8]=

这个矩阵有三个特征值，都等于0.

In[9]:=

Out[9]=

但是，该矩阵仅有一个独立的特征向量. 此时，Eigenvectors 添加两个零向量给出总共三个向量.

In[10]:=

Out[10]=

这里给出矩阵的特征多项式.

In[11]:=

Out[11]=

Eigenvalues[m,k]	m 的最大的 k 个特征值
Eigenvectors[m,k]	m 的相应的特征向量
Eigensystem[m,k]	m 的最大的 k 个特征值以及相应的特征向量
Eigenvalues[m,-k]	m 的最小的 k 个特征值
Eigenvectors[m,-k]	m 的相应的特征向量
Eigensystem[m,-k]	m 的最小的 k 个特征值以及相应的特征向量

求解最大的和最小的特征值.

Eigenvalues 对数值特征值进行排序，使得绝对值大的排在最先. 在很多情况下，也许仅对矩阵的最大或最小的特征值感兴趣. 能用 Eigenvalues

和 Eigenvalues

来得到它们.

这里计算一个整数矩阵的精确特征值.

In[12]:=

Out[12]=

特征值按递减值的顺序排列.

In[13]:=

Out[13]=

这里给出三个绝对值最大的特征值.

In[14]:=

Out[14]=

Eigenvalues[{m,a}]	相对于 a 的 m 的广义特征值
Eigenvectors[{m,a}]	相对于 a 的 m 的广义特征向量
Eigensystem[{m,a}]	相对于 a 的 m 的广义特征系统
CharacteristicPolynomial[{m,a},x]	相对于 a 的 m 的广义特征多项式