MATHEMATICAチュートリアル

楕円積分と楕円関数

楕円積分	楕円モジュラ関数
楕円関数	一般化された楕円積分と楕円関数

楕円積分や楕円関数を使うときは，特殊関数の場合以上に引数の指定には注意を要する．これらの関数の記述や使い方に関しては，相違した規約がしばしば使われる．その多くは，引数の呼び方において違いがあったり，引数と引数の間に入れる区切り記号としてコンマ以外の記号が使われたりする．

$◼ 振幅 phi（Mathematica で用いられる，ラジアンで指定） ; ◼ 引数 u（Mathematica で用いられる）：phi=am(u)で振幅に関連する ; ◼ デルタ振幅 Delta(phi)：Delta(phi)=sqrt(1-msin^2(phi)) ; ◼ 座標 x：x=sin(phi) ; ◼ 特性 n（第三種楕円積分において Mathematica で用いられる） ; ◼ パラメータ m（Mathematica で用いられる）：I(phi|m)のように垂直バー(|)に続く ; ◼ 補パラメータ m_1：m_1=1-m ; ◼ 母数(Modulus) k：I(phi,k); m=k^2 のようにコンマに続く ; ◼ モジュラ角 alpha：I(phi\alpha); m=sin^2(alpha)のようにバックスラッシュ(\ )に続く ; ◼ ノーム q：theta 関数でコンマに続く; q=exp[-pi K(1-m)/K{m)]=exp(i pi omega^'/omega) ; ◼ 不変数 g_2，g_3（Mathematica で用いられる） ; ◼ 半周期 omega，omega^'：g_2=60sum_(r, s)^(')w^(-4)，g_3=140sum_(r, s)^(')w^(-6)，ここで w=2romega+2somega^' ; ◼ 周期の比 tau：tau=omega^'/omega ; ◼ 判別式 Delta：Delta=g_2^3-27g_3^2 ; ◼ 曲線のパラメータ a，b（Mathematica で用いられる） ; ◼ 座標 y（Mathematica で用いられる）：y^2=x^3+ax^2+b x と関連している$

楕円積分と楕円関数の共通的な引数に関する規約

JacobiAmplitude[u,m]	引数 u とパラメータ m に対応した振幅を返す
EllipticNomeQ[m]	パラメータ m に対応したノーム q を返す
InverseEllipticNomeQ[q]	ノーム q に対応したパラメータ m を返す
WeierstrassInvariants[{,}]	半周期に対応した不変数を返す
WeierstrassHalfPeriods[{g₂,g₃}]	不変数に対応した半周期を返す

異なった引数規約の間における変換

楕円積分

EllipticK[m]	第一種完全楕円積分
EllipticF[,m]	第一種楕円積分
EllipticE[m]	第二種完全楕円積分
EllipticE[,m]	第二種楕円積分
EllipticPi[n,m]	第三種完全楕円積分
EllipticPi[n,,m]	第三種楕円積分
JacobiZeta[,m]	ヤコビのゼータ関数

楕円積分

を有理関数，をの三次または四次の多項式とするとき，で表される積分を楕円積分と呼ぶ．あらゆる楕円積分は，3種類あるルジャンドル-ヤコビの楕円積分で表すことができる．

第一種楕円積分EllipticF[, m]は，においてで与えられる．この楕円積分は，単振子の運動状態を表した方程式の解法に使われる．また，第一種の不完全楕円積分としても知られる．

文献によっては，Mathematica で使われる引数の順序とは逆の順序で引数が与えられることがあるので注意する．

第一種完全楕円積分EllipticK[m] は，で与えられる．ここで，は第一種完全楕円積分を表し，は不完全楕円積分を表すことに注目されたい．実際の用途では，が省略れ，は単にと記述されることがよくある．補第一種完全楕円積分は，で与えられる．この積分はしばしばとも表記される．とは，対応するヤコビの楕円積分（「楕円関数」を参照）の「実部」と「虚部」の各々からなる四分の一周期を与える．

第二種楕円積分EllipticE[, m] は，の範囲において，で与えられる．

第二種完全楕円積分EllipticE[m] は，で与えられ，とも表記される．この補形はとなる．

ヤコビのゼータ関数JacobiZeta[, m] は，で与えられる．

ヒューマン(Heuman)のラムダ関数は，で与えられる．

第三種楕円積分EllipticPi[n, , m] は，で与えられる．

第三種完全楕円積分EllipticPi[n, m] は，で与えられる．

第二種完全楕円積分

をプロットする．

In[1]:=

Out[1]=

で

を計算する．

In[2]:=

Out[2]=

プロットすると，楕円積分が複素平面上で複雑な構造を持つことが分かる．

In[83]:=

Out[1]=

楕円関数

JacobiAmplitude[u,m]	振幅関数
JacobiSN[u,m]，JacobiCN[u,m]等	ヤコビの楕円関数等
InverseJacobiSN[v,m]，InverseJacobiCN[v,m]等	逆ヤコビの楕円関数等
EllipticTheta[a,u,q]	楕円シータ関数 (, ..., )
EllipticThetaPrime[a,u,q]	楕円シータ導関数 (, ..., )
SiegelTheta[,s]	シーゲルのシータ関数
SiegelTheta[v,,s]	シーゲルのシータ関数
WeierstrassP[u,{g₂,g₃}]	ワイエルシュトラスの楕円関数
WeierstrassPPrime[u,{g₂,g₃}]	ワイエルシュトラスの楕円導関数
InverseWeierstrassP[p,{g₂,g₃}]	逆ワイエルシュトラスの楕円関数
WeierstrassSigma[u,{g₂,g₃}]	ワイエルシュトラスのシグマ関数
WeierstrassZeta[u,{g₂,g₃}]	ワイエルシュトラスのゼータ関数

楕円関数とこれに関連した関数

二次形式の平方根を含む有理関数は，逆三角関数を使って積分することができる．このため，三角関数をこれらの積分で得られる関数の逆として定義することもできる．

類推から，楕円関数は楕円積分で得られる関数の逆として定義することができる．

ヤコビの楕円関数の振幅JacobiAmplitude[u, m] は，第一種楕円積分の逆関数である．ならば，と書ける．ヤコビの楕円関数を用いるとき，しばしばが省略され，がと書かれる．

ヤコビの楕円関数JacobiSN[u, m] およびJacobiCN[u, m] は，それぞれおよびで与えられる．ただし，とする．また，JacobiDN[u, m]は，で与えられる．

ヤコビの楕円関数は全部で12種類存在する．それらは，P とQ を，C，D，Nから組み合せることで作れる．それぞれのヤコビの楕円関数は，を満足する．ただし，この式ではとする．

三角関数の間にはさまざまな関係式があるが，それに似た関係がヤコビの楕円関数の間にも数多くある．ヤコビの楕円関数は，極限を取ったとき，三角関数に還元する．このため，，，，，，というような関係が成り立つ．

の記述が積分を表すのに使われることがある．「楕円積分」で定義したヤコビのゼータ関数を使って表せる．

楕円関数の重要な特性のひとつとして，引数の複素数値について二重の周期性を持つことが挙げられる．通常の三角関数は単一な周期性を持つ．つまり，任意の整数についての周期性を持つ．これに対して，楕円関数は二重周期性を持つ．つまり，の周期性がとの任意の整数の対について成り立つ．

のようなヤコビの楕円関数は，複素平面上で二重の周期性を持つ．周期にはとが含まれる．ここで，は第一種完全楕円積分を表す．

ヤコビの楕円関数の記述において「p」と「q」のどちらを選択するかは，四分の一周期の点で得られるとの関数値から判明する．

ヤコビの楕円関数

の絶対値が2つの方向に沿って基本周期を持つのがグラフから分かる．

In[3]:=

Out[3]=

Mathematica には，逆ヤコビの楕円関数であるInverseJacobiSN[v, m]やInverseJacobiCN[v, m]等も組み込まれている．例えば，逆関数の1つ，は，が成り立つためのの値を与える．逆ヤコビの楕円関数は楕円積分に関連している．

4種類の楕円シータ関数は，a を，，またはとしてEllipticTheta[a, u, q] から作ることができる．これらの関数は，，，，で定義される．シータ関数はパラメータを明示しないでと書かれることもある．シータ関数は，と書かれることもあるが，その場合にとはという式で関係付けられている．また，はで与えられるに置き換えられることもある．これらすべてのシータ関数は拡散方程式を満たす．

次元 p，ベクトル s のリーマンの正方モジュラ行列を持つシーゲルのシータ関数SiegelTheta[, s]は，複素次元 p までの楕円シータ関数を生成する．これはで定義され，n はすべての p 次元整数ベクトル上を動く．特性関数SiegelTheta[, , s] を持つシーゲルのシータ関数は，で定義され，特性は1対の p 次元ベクトルを表す．

ヤコビの楕円関数はシータ関数の比としても表すことができる．

この他，シータ関数の表記には，，，，がある．ただし，とする．

ネビル(Neville)のシータ関数は，先のシータ関数を使って，，，，と定義できる．ここで，とする．ヤコビの楕円関数はネビルのシータ関数の比として表すことができる．

ワイエルシュトラス(Weierstrass)の楕円関数WeierstrassP[u, {g₂, g₃}] は，楕円積分の逆関数と見ることができる．ワイエルシュトラスの関数は，を満たすの値を与える．関数WeierstrassPPrime[u, {g₂, g₃}]は，で与えられる．

ワイエルシュトラスの関数は，基本半周期とを用いて書かれることもあり，このとはWeierstrassHalfPeriods[{u, {g₂, g₃}]を使い不変数とから求まる．

逆ワイエルシュトラスの楕円関数InverseWeierstrassP[p, {g₂, g₃}]は，とするの2つの値の1つを返す．この値は複素半周期とによって定義される平行四辺形内にある．

逆ワイエルシュトラスの楕円関数InverseWeierstrassP[{p, q}, {g₂, g₃}]は，およびとなるの一意的な値を返す．にそのような値が存在するには，とはの関係式を満たす必要がある．

ワイエルシュトラスのゼータ関数WeierstrassZeta[u, {g₂, g₃}] とワイエルシュトラスのシグマ関数WeierstrassSigma[u, {g₂, g₃}]は，ワイエルシュトラスの楕円関数に各々，との関係式で関連している．

ワイエルシュトラスのゼータ関数とワイエルシュトラスのシグマ関数は周期性を持たないため，厳密には楕円関数ではない．

楕円モジュラ関数

DedekindEta[]	デデキントのイータ関数
KleinInvariantJ[]	クラインの不変モジュラ関数
ModularLambda[]	モジュラ・ラムダ関数

楕円モジュラ関数

モジュラ・ラムダ関数ModularLambda[] は，で与えられる半周期の比とパラメータをの関係式で関連付ける．

クライン(Klein)の不変モジュラ関数KleinInvariantJ[] とデデキント(Dedekind)のイータ関数DedekindEta[] は，の関係式を満たす．

楕円モジュラ関数は，引数の特定な一次分数変換において不変になるように定義されている．このため，例えば，との変換操作をどう組み合せて行ったとしてもは不変である．

一般化された楕円積分と楕円関数

ArithmeticGeometricMean[a,b]	との算術幾何平均
EllipticExp[u,{a,b}]	楕円曲線に随伴した一般化された指数
EllipticLog[{x,y},{a,b}]	楕円曲線に随伴した一般化された対数