椭圆积分和椭圆函数
和其它特殊函数相比，在给出椭圆积分和椭圆函数的自变量时需要更加小心谨慎. 在常见的用法中有几个不相容的规定，这些规定仅通过赋给变量的特定名称或自变量间的分离符（而不是逗号）来区分.
椭圆积分和椭圆函数中常见的变量规定.
不同变量间转换规则.
椭圆积分
椭圆积分.
形如
的积分，其中
是有理函数，
是关于
三次或四次多项式的积分是椭圆积分. 任何椭圆积分可以用勒让德-雅可比椭圆积分的三类标准形表示.
第一类椭圆积分
EllipticF
通过
在
时给出. 这类椭圆积分出现在求解单摆运动的方程中. 它有时也被称为第一类不完全椭圆积分.
注意椭圆积分的变量有时以与
Mathematica 中使用的相反顺序给出.
第一类完全椭圆积分
EllipticK[m] 由
给出. 注意
用来表示第一类完全椭圆积分，而
用来表示不完全的形式. 在许多应用中，参数
不是显式给定的，且
简单记作
. 第一类互补完全椭圆积分
由
给出，常被记作
.
和
给出"实" 和 "虚" 的相应于 "
椭圆函数"中所讨论的雅可比椭圆函数的四分之一周期.
第二类椭圆积分
EllipticE
由
在
给出.
第二类完全椭圆积分
EllipticE[m] 由
给出，常记作
. 其互补形式是
.
Heuman
函数由
给出.
第三类椭圆积分
EllipticPi
由
给出.
第三类完全椭圆积分
EllipticPi
由
给出.
这是第二类完全椭圆积分
的图形.
| Out[1]= |  |
这是
时
的值.
| Out[2]= |  |
| Out[1]= |  |
椭圆函数
| JacobiAmplitude[u,m] | 振幅函数  |
| JacobiSN[u,m], JacobiCN[u,m], etc. |
| 雅可比椭圆函数  等. |
| InverseJacobiSN[v,m], InverseJacobiCN[v,m], etc. |
| 反雅可比椭圆函数  等. |
| EllipticTheta[a,u,q] |  函数  ( ) |
| EllipticThetaPrime[a,u,q] | 函数的导数  ( ) |
SiegelTheta[ ,s] | Siegel 函数  |
| SiegelTheta[v,,s] | Siegel 函数  |
| WeierstrassP[u,{g2,g3}] | Weierstrass 椭圆函数  |
| WeierstrassPPrime[u,{g2,g3}] | Weierstrass 椭圆函数的导数  |
| InverseWeierstrassP[p,{g2,g3}] | 反 Weierstrass 椭圆函数 |
| WeierstrassSigma[u,{g2,g3}] | Weierstrass  函数  |
| WeierstrassZeta[u,{g2,g3}] | Weierstrass  函数  |
椭圆函数和相关函数.
涉及到二次式的平方根的有理函数能根据反三角函数进行积分. 因此，三角函数可被定义为由这些积分获得的函数的反函数.
类似地，椭圆函数被定义为由椭圆积分获得的函数的反函数.
雅可比椭圆函数的振幅
JacobiAmplitude
是第一类椭圆积分的反函数. 如果
，那么
. 雅可比椭圆函数的变量
常被省略，故
被写为
.
雅可比椭圆函数
JacobiSN
和
JacobiCN
分别由
和
给出，其中
. 另外，
JacobiDN
由
给出.
总共有12个雅可比椭圆函数
，其中字母
P 和
Q 从
、
C、
D 和
N 中选取. 每个雅可比椭圆函数
满足关系
，其中
.
雅可比椭圆函数之间有许多关系，在某种程度上类似于三角函数之间的关系. 事实上，在极限情形，雅可比椭圆函数可化为三角函数，例如
，
，
，
，
和
.
符号
常用于积分
. 这些积分能用"
椭圆积分"中定义的雅可比
函数来表示.
椭圆函数的最重要的性质之一是对自变量的复数值，它们是双周期的. 普通三角函数是单周期的，即对任意整数
，有
. 而椭圆函数是双周期的，即对任意整数
和
，有
.
雅可比椭圆函数
等在复平面
上是双周期的，其周期包括
和
，其中
是第一类完全椭圆积分.
雅可比椭圆函数的符号
中"p"和"q"的选取可以根据函数在四分之一周期
和
的值来理解.
这里显示雅可比椭圆函数
的绝对值在每个方向上的两个完全周期.
| Out[3]= |  |
反雅可比椭圆函数
InverseJacobiSN
，
InverseJacobiCN
等也是
Mathematica 的内置函数. 例如反函数
给出
关于
的解. 反雅可比椭圆函数与椭圆积分有关.
EllipticTheta
中分别取
a 为
、
、
和
得到四个
函数
. 其定义为
,
,
,
.
函数常写作
，其参数
常常不写出.
函数有时写成
的形式，其中
与
的关系为
. 另外，
有时用
代替，两者的关系为
. 所有的
函数满足扩散类微分方程
.
具有向量
s 的
p 维 Riemann 模块方阵（square modular matrix）的 Siegel
函数
SiegelTheta
将椭圆
函数推广至复维数
p，其定义为
，其中
n 跨越（runs over）全部
p 维整数向量. 特征值为
SiegelTheta
的 Siegel
函数的定义由
给出，其中特征数
是一对
p 维向量
.
雅可比椭圆函数可以被表示为
函数的比.
Neville
函数可以由
函数来定义：
,
,
,
，其中
. 雅可比椭圆函数可以表示为 Neville
函数的比.
Weierstrass 椭圆函数
WeierstrassP
可以被看作是椭圆积分的反函数. Weierstrass 函数
给出
关于
的解. 函数
WeierstrassPPrime
由
给出.
Weierstrass 函数有时根据其基本半周期
和
来表示，
和
可以通过使用
WeierstrassHalfPeriods[{u, {g2, g3}] 从不变量
和
中获得.
函数
InverseWeierstrassP
给出
关于
的两个解中的一个. 该值总是位于由复数半周期
和
定义的平行四边形之内.
InverseWeierstrassP
给出
和
的唯一解
. 要使这样的
值存在，
和
必须满足
.
Weierstrass
函数
WeierstrassZeta
和 Weierstrass
函数
WeierstrassSigma
的关系是：
和
.
Weierstrass
和
函数不是严格的椭圆函数，因为它们不是周期函数.
椭圆模函数
椭圆模函数.
模
函数
ModularLambda[] 根据
将参数与半周期比
相联系.
Klein 不变模函数
KleinInvariantJ[] 与 Dedekind
函数
DedekindEta[] 满足关系
.
模椭圆函数被定义为在自变量的某种分式线性变换下的不变量. 例如，
是在变换
和
的组合下的不变量.
广义椭圆积分和函数
广义椭圆积分和函数.
上面给出的椭圆积分和函数的定义基于传统的用法. 在现代的代数几何中，使用更一般的定义是方便的.
函数
EllipticLog
被定义为积分
的值，其中平方根的正负通过给出使得
成立的
值来确定. 形如
的积分可以用普通对数（和反三角函数）来表示. 可以认为
EllipticLog 给出该积分的推广，其中平方根下的多项式是三次的.
函数
EllipticExp
是
EllipticLog 的反函数. 它返回出现在
EllipticLog 中的列表
.
EllipticExp 是一个椭圆函数，在复平面
上是双周期的.
ArithmeticGeometricMean
给出两个数
和
的算术-几何平均值（AGM）. 该量是计算椭圆积分的和其它函数的许多数值算法的核心. 对于正实数
和
，其 AGM 按下述方法获得：从
，
开始，然后重复变换
，
直到在要求的精度下
为止.
,
}]
的不变量 
的半周期 
和 
的算术-几何平均值
相关的广义指数
相关的广义对数
![◼ 振幅 phi (在 Mathematica 中，使用单位是弧度) ; ◼ 自变量 u (Mathematica 中使用)：通过 phi=am(u) 与振幅相关 ; ◼ delta 振幅 Delta(phi): Delta(phi)=sqrt(1-msin^2(phi)) ; ◼ 坐标 x: x=sin(phi) ; ◼ 特征数 n (在 Mathematica 中用于第三类椭圆积分) ; ◼ 参数 m (Mathematica 中使用)：在其前面有符号 ❘，如 I(phi❘m) ; ◼ 互补参数 m_1: m_1=1-m ; ◼ 模 k：在其前面有逗号，如 I(phi,k); m=k^2 ; ◼ 模角 alpha：在其前面有 \ ，如 I(phi\alpha); m=sin^2(alpha) ; ◼ Nome q：在 theta 函数中前面有逗号；q=exp[-pi K(1-m)/K{m)]=exp(i pi omega^′/omega) ; ◼ 不变量 g_2, g_3 (Mathematica 中使用) ; ◼ 半周期 omega, omega^′: g_2=60∑_(r, s)^(′)w^(-4), g_3=140∑_(r, s)^(′)w^(-6), 其中 w=2romega+2somega^′ ; ◼ 周期比 tau: tau=omega^′/omega ; ◼ 判别式 Delta: Delta=g_2^3-27g_3^2 ; ◼ 曲线 a, b 的参数(Mathematica 中使用) ; ◼ 坐标 y (Mathematica 中使用)：满足 y^2=x^3+ax^2+b x](Files/EllipticIntegralsAndEllipticFunctions.zh/Image_1.gif "◼ 振幅 phi (在 Mathematica 中，使用单位是弧度) ; ◼ 自变量 u (Mathematica 中使用)：通过 phi=am(u) 与振幅相关 ; ◼ delta 振幅 Delta(phi): Delta(phi)=sqrt(1-msin^2(phi)) ; ◼ 坐标 x: x=sin(phi) ; ◼ 特征数 n (在 Mathematica 中用于第三类椭圆积分) ; ◼ 参数 m (Mathematica 中使用)：在其前面有符号 ❘，如 I(phi❘m) ; ◼ 互补参数 m_1: m_1=1-m ; ◼ 模 k：在其前面有逗号，如 I(phi,k); m=k^2 ; ◼ 模角 alpha：在其前面有 \ ，如 I(phi\alpha); m=sin^2(alpha) ; ◼ Nome q：在 theta 函数中前面有逗号；q=exp[-pi K(1-m)/K{m)]=exp(i pi omega^′/omega) ; ◼ 不变量 g_2, g_3 (Mathematica 中使用) ; ◼ 半周期 omega, omega^′: g_2=60∑_(r, s)^(′)w^(-4), g_3=140∑_(r, s)^(′)w^(-6), 其中 w=2romega+2somega^′ ; ◼ 周期比 tau: tau=omega^′/omega ; ◼ 判别式 Delta: Delta=g_2^3-27g_3^2 ; ◼ 曲线 a, b 的参数(Mathematica 中使用) ; ◼ 坐标 y (Mathematica 中使用)：满足 y^2=x^3+ax^2+b x")
