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椭圆积分和椭圆函数
和其它特殊函数相比，在给出椭圆积分和椭圆函数的自变量时需要更加小心谨慎. 在常见的用法中有几个不相容的规定，这些规定仅通过赋给变量的特定名称或自变量间的分离符（而不是逗号）来区分.
![◼ 振幅 phi (在 Mathematica 中，使用单位是弧度) ; ◼ 自变量 u (Mathematica 中使用)：通过 phi=am(u) 与振幅相关 ; ◼ delta 振幅 Delta(phi): Delta(phi)=sqrt(1-msin^2(phi)) ; ◼ 坐标 x: x=sin(phi) ; ◼ 特征数 n (在 Mathematica 中用于第三类椭圆积分) ; ◼ 参数 m (Mathematica 中使用)：在其前面有符号 |，如 I(phi|m) ; ◼ 互补参数 m_1: m_1=1-m ; ◼ 模 k：在其前面有逗号，如 I(phi,k); m=k^2 ; ◼ 模角 alpha：在其前面有 \ ，如 I(phi\alpha); m=sin^2(alpha) ; ◼ Nome q：在 theta 函数中前面有逗号；q=exp[-pi K(1-m)/K{m)]=exp(i pi omega^'/omega) ; ◼ 不变量 g_2, g_3 (Mathematica 中使用) ; ◼ 半周期 omega, omega^': g_2=60sum_(r, s)^(')w^(-4), g_3=140sum_(r, s)^(')w^(-6), 其中 w=2romega+2somega^' ; ◼ 周期比 tau: tau=omega^'/omega ; ◼ 判别式 Delta: Delta=g_2^3-27g_3^2 ; ◼ 曲线 a, b 的参数(Mathematica 中使用) ; ◼ 坐标 y (Mathematica 中使用)：满足 y^2=x^3+ax^2+b x](Files/EllipticIntegralsAndEllipticFunctions.zh/Image_1.png "◼ 振幅 phi (在 Mathematica 中，使用单位是弧度) ; ◼ 自变量 u (Mathematica 中使用)：通过 phi=am(u) 与振幅相关 ; ◼ delta 振幅 Delta(phi): Delta(phi)=sqrt(1-msin^2(phi)) ; ◼ 坐标 x: x=sin(phi) ; ◼ 特征数 n (在 Mathematica 中用于第三类椭圆积分) ; ◼ 参数 m (Mathematica 中使用)：在其前面有符号 |，如 I(phi|m) ; ◼ 互补参数 m_1: m_1=1-m ; ◼ 模 k：在其前面有逗号，如 I(phi,k); m=k^2 ; ◼ 模角 alpha：在其前面有 \ ，如 I(phi\alpha); m=sin^2(alpha) ; ◼ Nome q：在 theta 函数中前面有逗号；q=exp[-pi K(1-m)/K{m)]=exp(i pi omega^'/omega) ; ◼ 不变量 g_2, g_3 (Mathematica 中使用) ; ◼ 半周期 omega, omega^': g_2=60sum_(r, s)^(')w^(-4), g_3=140sum_(r, s)^(')w^(-6), 其中 w=2romega+2somega^' ; ◼ 周期比 tau: tau=omega^'/omega ; ◼ 判别式 Delta: Delta=g_2^3-27g_3^2 ; ◼ 曲线 a, b 的参数(Mathematica 中使用) ; ◼ 坐标 y (Mathematica 中使用)：满足 y^2=x^3+ax^2+b x")
| JacobiAmplitude[u,m] | 给出对应于自变量 u 和参数 m 的振幅  |
| EllipticNomeQ[m] | 给出对应于参数 m 的 nome q |
| InverseEllipticNomeQ[q] | 给出对应于 nome q 的参数 m |
WeierstrassInvariants[{ , }] | 给出对应于半周期  的不变量  |
| WeierstrassHalfPeriods[{g2,g3}] | 给出对应于不变量  的半周期  |
椭圆积分
| EllipticK[m] | 第一类完全椭圆积分  |
| EllipticF[,m] | 第一类椭圆积分  |
| EllipticE[m] | 第二类完全椭圆积分  |
| EllipticE[,m] | 第二类椭圆积分  |
| EllipticPi[n,m] | 第三类完全椭圆积分  |
| EllipticPi[n,,m] | 第三类椭圆积分  |
| JacobiZeta[,m] | 雅可比  函数  |
形如 
的积分，其中 
是有理函数，
是关于 
三次或四次多项式的积分是椭圆积分. 任何椭圆积分可以用勒让德-雅可比椭圆积分的三类标准形表示.
第一类椭圆积分 EllipticF[, m] 通过 
在
时给出. 这类椭圆积分出现在求解单摆运动的方程中. 它有时也被称为第一类不完全椭圆积分.
注意椭圆积分的变量有时以与 Mathematica 中使用的相反顺序给出.
第一类完全椭圆积分 EllipticK[m] 由 
给出. 注意 
用来表示第一类完全椭圆积分，而 
用来表示不完全的形式. 在许多应用中，参数 
不是显式给定的，且 
简单记作 
. 第一类互补完全椭圆积分 
由 
给出，常被记作 
. 
和 
给出"实" 和 "虚" 的相应于 "椭圆函数"中所讨论的雅可比椭圆函数的四分之一周期.
第二类椭圆积分 EllipticE[, m] 由 
在 
给出.
第二类完全椭圆积分 EllipticE[m] 由 
给出，常记作 
. 其互补形式是 
.
雅可比 函数 JacobiZeta[, m] 由 
给出.
第三类椭圆积分 EllipticPi[n, , m] 由 
给出.
第三类完全椭圆积分 EllipticPi[n, m] 由 
给出.
| In[1]:= |
| Out[1]= |  |
| In[2]:= |
| Out[2]= |  |
| In[83]:= |
| Out[1]= |  |
椭圆函数
| JacobiAmplitude[u,m] | 振幅函数  |
| JacobiSN[u,m], JacobiCN[u,m], etc. | |
雅可比椭圆函数  等. | |
| InverseJacobiSN[v,m], InverseJacobiCN[v,m], etc. | |
反雅可比椭圆函数  等. | |
| EllipticTheta[a,u,q] |  函数  ( ) |
| EllipticThetaPrime[a,u,q] | 函数的导数  ( ) |
SiegelTheta[ ,s] | Siegel 函数  |
| SiegelTheta[v,,s] | Siegel 函数  |
| WeierstrassP[u,{g2,g3}] | Weierstrass 椭圆函数  |
| WeierstrassPPrime[u,{g2,g3}] | Weierstrass 椭圆函数的导数  |
| InverseWeierstrassP[p,{g2,g3}] | 反 Weierstrass 椭圆函数 |
| WeierstrassSigma[u,{g2,g3}] | Weierstrass  函数  |
| WeierstrassZeta[u,{g2,g3}] | Weierstrass 函数  |
涉及到二次式的平方根的有理函数能根据反三角函数进行积分. 因此，三角函数可被定义为由这些积分获得的函数的反函数.
雅可比椭圆函数的振幅 JacobiAmplitude[u, m] 是第一类椭圆积分的反函数. 如果 
，那么
. 雅可比椭圆函数的变量 
常被省略，故 
被写为 
.
雅可比椭圆函数 JacobiSN[u, m] 和 JacobiCN[u, m] 分别由 
和 
给出，其中 
. 另外，JacobiDN[u, m] 由 
给出.
总共有12个雅可比椭圆函数 
，其中字母 P 和 Q 从 
、C、D 和 N 中选取. 每个雅可比椭圆函数 
满足关系 
，其中 
.
雅可比椭圆函数之间有许多关系，在某种程度上类似于三角函数之间的关系. 事实上，在极限情形，雅可比椭圆函数可化为三角函数，例如 
，
，
，
，
和
.
符号 
常用于积分 
. 这些积分能用"椭圆积分"中定义的雅可比 函数来表示.
椭圆函数的最重要的性质之一是对自变量的复数值，它们是双周期的. 普通三角函数是单周期的，即对任意整数 
，有 
. 而椭圆函数是双周期的，即对任意整数 
和 
，有 
.
雅可比椭圆函数 
等在复平面 
上是双周期的，其周期包括 
和 
，其中 
是第一类完全椭圆积分.
雅可比椭圆函数的符号 
中"p"和"q"的选取可以根据函数在四分之一周期 
和 
的值来理解.
| In[3]:= |
| Out[3]= |  |
反雅可比椭圆函数 InverseJacobiSN[v, m]， InverseJacobiCN[v, m] 等也是 Mathematica 的内置函数. 例如反函数 
给出 
关于 
的解. 反雅可比椭圆函数与椭圆积分有关.
EllipticTheta[a, u, q] 中分别取 a 为 
、
、
和 
得到四个 函数 
. 其定义为 
, 
, 
, 
. 函数常写作 
，其参数 
常常不写出. 函数有时写成 
的形式，其中 
与 
的关系为 
. 另外，
有时用 
代替，两者的关系为 
. 所有的 函数满足扩散类微分方程 
.
具有向量 s 的 p 维 Riemann 模块方阵（square modular matrix）的 Siegel 函数 SiegelTheta[, s] 将椭圆 函数推广至复维数 p，其定义为 
，其中 n 跨越（runs over）全部 p 维整数向量. 特征值为 SiegelTheta[
, , s] 的 Siegel 函数的定义由
给出，其中特征数 是一对 p 维向量 
.
Neville 函数可以由 函数来定义：
, 
, 
, 
，其中 
. 雅可比椭圆函数可以表示为 Neville 函数的比.
Weierstrass 椭圆函数 WeierstrassP[u, {g2, g3}] 可以被看作是椭圆积分的反函数. Weierstrass 函数
给出 
关于 
的解. 函数 WeierstrassPPrime[u, {g2, g3}] 由 
给出.
Weierstrass 函数有时根据其基本半周期 
和 
来表示，
和 
可以通过使用WeierstrassHalfPeriods[{u, {g2, g3}] 从不变量 
和 
中获得.
函数 InverseWeierstrassP[p, {g2, g3}] 给出 
关于 
的两个解中的一个. 该值总是位于由复数半周期 
和 
定义的平行四边形之内.
InverseWeierstrassP[{p, q}, {g2, g3}] 给出 
和 
的唯一解 
. 要使这样的 
值存在，
和 
必须满足 
.
Weierstrass 函数 WeierstrassZeta[u, {g2, g3}] 和 Weierstrass 函数WeierstrassSigma[u, {g2, g3}] 的关系是：
和
.
Weierstrass 和 函数不是严格的椭圆函数，因为它们不是周期函数.
椭圆模函数
| DedekindEta[] | Dedekind  函数  |
| KleinInvariantJ[] | Klein 不变模函数  |
| ModularLambda[] | 模  函数  |
模 函数 ModularLambda[] 根据 
将参数与半周期比 
相联系.
Klein 不变模函数 KleinInvariantJ[] 与 Dedekind 函数 DedekindEta[] 满足关系
.
模椭圆函数被定义为在自变量的某种分式线性变换下的不变量. 例如，
是在变换 
和 
的组合下的不变量.
广义椭圆积分和函数
| ArithmeticGeometricMean[a,b] |  和  的算术-几何平均值 |
| EllipticExp[u,{a,b}] | 与椭圆曲线  相关的广义指数 |
| EllipticLog[{x,y},{a,b}] | 与椭圆曲线  相关的广义对数 |
上面给出的椭圆积分和函数的定义基于传统的用法. 在现代的代数几何中，使用更一般的定义是方便的.
函数 EllipticLog[{x, y}, {a, b}] 被定义为积分
的值，其中平方根的正负通过给出使得 
成立的 
值来确定. 形如 
的积分可以用普通对数（和反三角函数）来表示. 可以认为 EllipticLog 给出该积分的推广，其中平方根下的多项式是三次的.
函数 EllipticExp[u, {a, b}] 是 EllipticLog 的反函数. 它返回出现在 EllipticLog 中的列表 
. EllipticExp 是一个椭圆函数，在复平面 
上是双周期的.
ArithmeticGeometricMean[a, b] 给出两个数 
和 
的算术-几何平均值（AGM）. 该量是计算椭圆积分的和其它函数的许多数值算法的核心. 对于正实数 
和 
，其 AGM 按下述方法获得：从 
，
开始，然后重复变换 
，
直到在要求的精度下 
为止.
