椭圆积分和椭圆函数

和其它特殊函数相比,在给出椭圆积分和椭圆函数的自变量时需要更加小心谨慎. 在常见的用法中有几个不相容的规定,这些规定仅通过赋给变量的特定名称或自变量间的分离符(而不是逗号)来区分.

◼ 振幅 phi (在 Mathematica 中,使用单位是弧度) ; ◼ 自变量 u (Mathematica 中使用):通过 phi=am(u) 与振幅相关 ; ◼ delta 振幅 Delta(phi): Delta(phi)=sqrt(1-msin^2(phi)) ; ◼ 坐标 x: x=sin(phi) ; ◼ 特征数 n (在 Mathematica 中用于第三类椭圆积分) ; ◼ 参数 m (Mathematica 中使用):在其前面有符号 |,如 I(phi|m) ; ◼ 互补参数 m_1: m_1=1-m ; ◼ 模 k:在其前面有逗号,如 I(phi,k); m=k^2  ; ◼ 模角 alpha:在其前面有 \ ,如 I(phi\alpha); m=sin^2(alpha)  ; ◼ Nome q:在 theta 函数中前面有逗号;q=exp[-pi K(1-m)/K{m)]=exp(i pi omega^'/omega)  ; ◼ 不变量 g_2, g_3 (Mathematica 中使用)  ; ◼ 半周期 omega, omega^': g_2=60sum_(r, s)^(')w^(-4), g_3=140sum_(r, s)^(')w^(-6), 其中 w=2romega+2somega^'  ; ◼ 周期比 tau: tau=omega^'/omega  ; ◼ 判别式 Delta: Delta=g_2^3-27g_3^2  ; ◼ 曲线 a, b 的参数(Mathematica 中使用)  ; ◼ 坐标 y (Mathematica 中使用):满足 y^2=x^3+ax^2+b x

椭圆积分和椭圆函数中常见的变量规定.

JacobiAmplitude[u,m]给出对应于自变量 u 和参数 m 的振幅
EllipticNomeQ[m]给出对应于参数 m 的 nome q
InverseEllipticNomeQ[q]给出对应于 nome q 的参数 m
WeierstrassInvariants[{,omega^'}]给出对应于半周期 的不变量
WeierstrassHalfPeriods[{g2,g3}]给出对应于不变量 的半周期

不同变量间转换规则.

椭圆积分

EllipticK[m]第一类完全椭圆积分
EllipticF[,m]第一类椭圆积分
EllipticE[m]第二类完全椭圆积分 E(m)
EllipticE[,m]第二类椭圆积分 E(phi|m)
EllipticPi[n,m]第三类完全椭圆积分
EllipticPi[n,,m]第三类椭圆积分
JacobiZeta[,m]雅可比 函数

椭圆积分.

形如 的积分,其中 是有理函数, 是关于 三次或四次多项式的积分是椭圆积分. 任何椭圆积分可以用勒让德-雅可比椭圆积分的三类标准形表示.

第一类椭圆积分 EllipticF[, m] 通过 时给出. 这类椭圆积分出现在求解单摆运动的方程中. 它有时也被称为第一类不完全椭圆积分.

注意椭圆积分的变量有时以与 Mathematica 中使用的相反顺序给出.

第一类完全椭圆积分 EllipticK[m] 给出. 注意 用来表示第一类完全椭圆积分,而 用来表示不完全的形式. 在许多应用中,参数 不是显式给定的,且 简单记作 . 第一类互补完全椭圆积分 给出,常被记作 . 给出"实" 和 "虚" 的相应于 "椭圆函数"中所讨论的雅可比椭圆函数的四分之一周期.

第二类椭圆积分 EllipticE[, m] 给出.

第二类完全椭圆积分 EllipticE[m] 给出,常记作 . 其互补形式是 .

雅可比 函数 JacobiZeta[, m] 给出.

Heuman 函数由 给出.

第三类椭圆积分 EllipticPi[n, , m] 给出.

第三类完全椭圆积分 EllipticPi[n, m] 给出.

这是第二类完全椭圆积分 的图形.
In[1]:=
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Out[1]=
这是 的值.
In[2]:=
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Out[2]=
椭圆积分在复平面上有一个复杂的结构.
In[83]:=
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Out[1]=

椭圆函数

JacobiAmplitude[u,m]振幅函数
JacobiSN[u,m], JacobiCN[u,m], etc.
雅可比椭圆函数 等.
InverseJacobiSN[v,m], InverseJacobiCN[v,m], etc.
反雅可比椭圆函数 等.
EllipticTheta[a,u,q] 函数 ()
EllipticThetaPrime[a,u,q] 函数的导数 ()
SiegelTheta[,s]Siegel 函数
SiegelTheta[v,,s]Siegel 函数
WeierstrassP[u,{g2,g3}]Weierstrass 椭圆函数
WeierstrassPPrime[u,{g2,g3}]Weierstrass 椭圆函数的导数
InverseWeierstrassP[p,{g2,g3}]反 Weierstrass 椭圆函数
WeierstrassSigma[u,{g2,g3}]Weierstrass 函数
WeierstrassZeta[u,{g2,g3}]Weierstrass 函数

椭圆函数和相关函数.

涉及到二次式的平方根的有理函数能根据反三角函数进行积分. 因此,三角函数可被定义为由这些积分获得的函数的反函数.

类似地,椭圆函数被定义为由椭圆积分获得的函数的反函数.

雅可比椭圆函数的振幅 JacobiAmplitude[u, m] 是第一类椭圆积分的反函数. 如果 ,那么. 雅可比椭圆函数的变量 常被省略,故 被写为 .

雅可比椭圆函数 JacobiSN[u, m]JacobiCN[u, m] 分别由 给出,其中 . 另外,JacobiDN[u, m] 给出.

总共有12个雅可比椭圆函数 ,其中字母 PQCDN 中选取. 每个雅可比椭圆函数 满足关系 ,其中 .

雅可比椭圆函数之间有许多关系,在某种程度上类似于三角函数之间的关系. 事实上,在极限情形,雅可比椭圆函数可化为三角函数,例如 .

符号 常用于积分 . 这些积分能用"椭圆积分"中定义的雅可比 函数来表示.

椭圆函数的最重要的性质之一是对自变量的复数值,它们是双周期的. 普通三角函数是单周期的,即对任意整数 ,有 . 而椭圆函数是双周期的,即对任意整数 ,有 .

雅可比椭圆函数 等在复平面 上是双周期的,其周期包括 ,其中 是第一类完全椭圆积分.

雅可比椭圆函数的符号 中"p"和"q"的选取可以根据函数在四分之一周期 的值来理解.

这里显示雅可比椭圆函数 的绝对值在每个方向上的两个完全周期.
In[3]:=
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Out[3]=

反雅可比椭圆函数 InverseJacobiSN[v, m]InverseJacobiCN[v, m] 等也是 Mathematica 的内置函数. 例如反函数 给出 关于 的解. 反雅可比椭圆函数与椭圆积分有关.

EllipticTheta[a, u, q] 中分别取 a 得到四个 函数 . 其定义为 , , , . 函数常写作 ,其参数 常常不写出. 函数有时写成 的形式,其中 的关系为 . 另外, 有时用 代替,两者的关系为 . 所有的 函数满足扩散类微分方程 .

具有向量 sp 维 Riemann 模块方阵(square modular matrix)的 Siegel 函数 SiegelTheta[, s] 将椭圆 函数推广至复维数 p,其定义为 ,其中 n 跨越(runs over)全部 p 维整数向量. 特征值为 SiegelTheta[, , s] 的 Siegel 函数的定义由 给出,其中特征数 是一对 p 维向量 .

雅可比椭圆函数可以被表示为 函数的比.

函数的另一种记法是 , , , , 其中.

Neville 函数可以由 函数来定义: , , , ,其中 . 雅可比椭圆函数可以表示为 Neville 函数的比.

Weierstrass 椭圆函数 WeierstrassP[u, {g2, g3}] 可以被看作是椭圆积分的反函数. Weierstrass 函数 给出 关于 的解. 函数 WeierstrassPPrime[u, {g2, g3}] 给出.

Weierstrass 函数有时根据其基本半周期 来表示, 可以通过使用WeierstrassHalfPeriods[{u, {g2, g3}] 从不变量 中获得.

函数 InverseWeierstrassP[p, {g2, g3}] 给出 关于 的两个解中的一个. 该值总是位于由复数半周期 定义的平行四边形之内.

InverseWeierstrassP[{p, q}, {g2, g3}] 给出 的唯一解 . 要使这样的 值存在, 必须满足 .

Weierstrass 函数 WeierstrassZeta[u, {g2, g3}] 和 Weierstrass 函数WeierstrassSigma[u, {g2, g3}] 的关系是:.

Weierstrass 函数不是严格的椭圆函数,因为它们不是周期函数.

椭圆模函数

DedekindEta[]Dedekind 函数
KleinInvariantJ[]Klein 不变模函数
ModularLambda[] 函数

椭圆模函数.

函数 ModularLambda[] 根据 将参数与半周期比 相联系.

Klein 不变模函数 KleinInvariantJ[] 与 Dedekind 函数 DedekindEta[] 满足关系.

模椭圆函数被定义为在自变量的某种分式线性变换下的不变量. 例如, 是在变换 的组合下的不变量.

广义椭圆积分和函数

ArithmeticGeometricMean[a,b] 的算术-几何平均值
EllipticExp[u,{a,b}]与椭圆曲线 相关的广义指数
EllipticLog[{x,y},{a,b}]与椭圆曲线 相关的广义对数

广义椭圆积分和函数.

上面给出的椭圆积分和函数的定义基于传统的用法. 在现代的代数几何中,使用更一般的定义是方便的.

函数 EllipticLog[{x, y}, {a, b}] 被定义为积分 的值,其中平方根的正负通过给出使得 成立的 值来确定. 形如 的积分可以用普通对数(和反三角函数)来表示. 可以认为 EllipticLog 给出该积分的推广,其中平方根下的多项式是三次的.

函数 EllipticExp[u, {a, b}]EllipticLog 的反函数. 它返回出现在 EllipticLog 中的列表 . EllipticExp 是一个椭圆函数,在复平面 上是双周期的.

ArithmeticGeometricMean[a, b] 给出两个数 的算术-几何平均值(AGM). 该量是计算椭圆积分的和其它函数的许多数值算法的核心. 对于正实数 ,其 AGM 按下述方法获得:从 开始,然后重复变换 直到在要求的精度下 为止.

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