求极限

在许多运算中,需要计算变量取特定值时的表达式. 大多数情况下,只需使用 算符对变量应用变换规则就可以做到这一点.

通过用0代替 ,就可以得到 在0处的值.
In[1]:=
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Out[1]=

但是,在某些情况下,用户必须更谨慎.

例如,求表达式 处的值. 如果只是用 代替表达式中的 ,将得到不定结果 . 要求出 的正确值,必须取极限.

Limit[expr,x->x0]x 趋于 expr 的极限

求极限.

这里给出 时的正确极值.
In[2]:=
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Out[2]=
此例不存在有限的极值.
In[3]:=
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Out[3]=
尽管得不到 处的普通幂级数,但 Limit 能求出该极限.
In[4]:=
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Out[4]=
此例还是这样.
In[5]:=
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Out[5]=
符号函数 Sign[x] 处的值是 0.
In[6]:=
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Out[6]=
但其极限是 . 此极限缺省地取右极限.
In[7]:=
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Out[7]=

并非所有函数在特定的点都有确定的极限. 例如函数 附近无限振荡,所以在此处无确定极限. 然而只要 取实数,该函数在 附近的值总是在 之间. Limit 使用 Interval 对象表示有界变化的值. 一般地,Interval[{xmin 表示在区间 中的某个不确定的值.

Limit 返回 Interval 对象,表示 在本性奇点 附近取值的范围.
In[8]:=
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Out[8]=
MathematicaInterval 对象可以进行算术运算.
In[9]:=
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Out[9]=
Mathematica 以一个 Interval 对象来符号式地表示这个极限.
In[10]:=
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Out[10]=

有些函数在特定点处,从不同方向趋于该点时有不同极限.使用 Limit 中的 Direction 选项,可以指定趋近的方向.

Limit[expr,x->x0,Direction->1]x 趋于 的左极限
Limit[expr,x->x0,Direction->-1]x 趋于 的右极限

左、右极限.

函数 左,右极限不同.
In[11]:=
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Out[11]=
其左极限是 .
In[12]:=
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Out[12]=
其右极限是 .
In[13]:=
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Out[13]=

Limit 对抽象函数如 不做任何假定. 因此,多数情况下 Limit 对符号函数不做计算.

Limit 不知道 是什么,故不计算此极限.
In[14]:=
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Out[14]=
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