多值函数

求数 的平方根 ,实际上就是求方程 的解. 然而,此方程一般有两个不同的解. 例如, 都是方程 的解. 但是当用户计算"函数" 时,通常想得到一个数. 因此必须选择其中一个. 一个标准选择是对 应当是正数. 这正是 Mathematica 函数 Sqrt[x] 所做的事情.

需要从两个解中选择一个意味着 Sqrt[x] 不可能是 的反函数. 取一个数,对它平方,然后取平方根能给出一个与开始时不同的数.

给出 ,而不是 .
In[1]:=
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Out[1]=
对一个数平方再取平方根并不一定给出初始的数.
In[2]:=
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Out[2]=

当计算 时,再一次有两个可能的结果: . 但是,在此情况下,选择哪一个是不明显的.

事实上,没有任何选择 的方法使得对 的所有复数值它是连续的. 必须有一个"分支线"——复平面上的一条线,函数 穿过它时是不连续的. Mathematica 采纳通常的惯例,取 的分支线为负实轴.

给出 ,而不是 .
In[3]:=
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Out[3]=
Sqrt 的分支线为负实轴意味着 Sqrt[z] 的值随着 在轴上方和轴下方是完全不同的.
In[4]:=
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Out[4]=
然而,它们的平方是很接近的.
In[5]:=
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Out[5]=
沿着负实轴的不连续性在平方根函数的虚部的三维图形中是相当明显的.
In[6]:=
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Out[6]=

使用 次根时,原则上有 个可能的结果. 要得到单一的值,必须选择特定的主要的根. 绝对无法保证使取一个数的 次幂的 次根得到原来的数.

取一个复数的几次幂,结果是唯一的.
In[7]:=
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Out[7]=
有十个可能的10次根. Mathematica 选择其中之一. 此时,结果不是原来的数.
In[8]:=
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Out[8]=

有许多数学函数,如求根,本质上给出方程的解. 对数函数和反三角函数是这样的例子. 在几乎所有的情况下,方程有许多可能的解. 但是唯一的"主要"值必须被选择. 这个选择不可能在整个复平面上都是连续的,不连续线或分支线必定出现. 这些分支线的位置常常是相当任意的. Mathematica 对它们进行最标准的数学选择.

Sqrt[z] z^sRe Re 不是整数)
Exp[z]
Log[z]
三角函数
ArcSin[z] ArcCos[z]
ArcTan[z]
ArcCsc[z] ArcSec[z]
ArcCot[z]
双曲函数
ArcSinh[z]
ArcCosh[z]
ArcTanh[z]
ArcCsch[z]
ArcSech[z]
ArcCoth[z]

复平面上一些不连续分支线.

ArcSin 是多值函数,故无任何保证它总是给出 Sin 的逆.
In[9]:=
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Out[9]=
ArcSin[z] 在分支线两边的值可能是非常不同的.
In[10]:=
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Out[10]=
表明函数 的两个分支线的三维图形.
In[11]:=
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Out[11]=
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