广义函数和相关对象

在许多实际情况中,考虑将某种固定量集中到一个无穷小区域的极限是方便的. 微积分中的普通数学函数不能表示这种极限. 然而,引入广义函数分布来表示积分和其它类型的计算中的这些极限是可能的.

DiracDelta[x]Dirac delta 函数
HeavisideTheta[x]海维赛阶梯函数 , 为0, 时为1

Dirac delta 和海维赛阶梯函数.

这是集中在 处的函数.
In[1]:=
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Out[1]=
随着 的增大,函数越来越集中.
In[2]:=
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Out[2]=
对任意 ,其积分总是等于1.
In[3]:=
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Out[3]=
趋向于无穷大时,函数的极限是 Dirac delta 函数,其积分还是1.
In[4]:=
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Out[4]=
DiracDelta 以外的所有实点取值均为0.
In[5]:=
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Out[5]=

在积分中插入一个 delta 函数能使被积函数在delta 函数的自变量为0处的离散点上被采样.

这里对函数 在自变量为 处进行采样.
In[6]:=
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Out[6]=
这是一个稍微复杂的例子.
In[7]:=
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Out[7]=
这里有效的计算出 在积分区域上的零点个数.
In[8]:=
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Out[8]=

海维赛阶梯函数 HeavisideTheta[x] 是 delta 函数的不定积分. 它有多种表示法:. 作为广义函数,海维赛函数只在积分内部有定义. 这与单位跃阶函数 UnitStep[x] 不同,后者是一个分段函数.

delta 函数的不定积分是海维赛阶梯函数.
In[9]:=
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Out[9]=
积分的值取决于 是否在区间 上.
In[10]:=
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Out[10]=

DiracDeltaHeavisideTheta 常出现在积分变换中.

常数的傅立叶变换是 delta 函数.
In[11]:=
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Out[11]=
的傅立叶变换包含两个 delta 函数的和.
In[12]:=
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Out[12]=

Dirac delta 函数能用在 DSolve 中求由线性或某些其它微分方程表示的系统的脉冲或格林函数.

这里得到 处的脉冲约束下的调和振子的性态.
In[13]:=
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Out[13]=
DiracDelta[x1,x2,...]多维 Dirac delta 函数
HeavisideTheta[x1,x2,...]多维海维赛阶梯函数

多维 Dirac delta 和海维赛阶梯函数.

多维广义函数实际上是一元广义函数的乘积.

这是多维海维赛函数的导数.
In[14]:=
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Out[14]=

与多维 Dirac delta 函数相关的是两个整数函数:离散 delta 函数和 Kronecker delta 函数. 离散 delta 函数 在全部的 时取值是1,否则取值是0. Kronecker delta 函数 全部相等时取值是1,否则取值是0.

DiscreteDelta[n1,n2,...]离散 delta
KroneckerDelta[n1,n2,...]Kronecker delta

整数 delta 函数.

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