MATHEMATICA 教程

不定积分

Mathematica 函数 Integrate[f, x] 给出不定积分 . 可以把不定积分运算看作是微分的逆运算. 如果对 Integrate[f, x] 的结果进行微分,总是得到与表达式 f 相等的结果.

然而,一般有一族结果,它们具有的特性是其导数是 f. Integrate[f, x] 只给出其导数是 f 的一个表达式. 通过添加一个任意积分常数,或者除一些离散点外都为常数的函数可以得到其它表达式.

当对积分添加上下限时,这样的积分常数一定被消除. 但即使不定积分允许有任意常数,不增加积分上下限在处理时往往是是很方便的.

Mathematica 使用标准法则求不定积分.
In[1]:=
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Out[1]=
可以给不定积分添加一任意常数,仍然得到同样的导数. Integrate 只给出具有要求的导数的一个表达式.
In[2]:=
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Out[2]=
这里给出不定积分 .
In[3]:=
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Out[3]=
对结果微分应给出原来的函数.
In[4]:=
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Out[4]=
需要进行处理使结果返回到原来的形式.
In[5]:=
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Out[5]=

Integrate 函数假定不显含积分变量的对象是与积分变量无关的,并被作为常数处理. 因此,Integrate 就像偏导函数 D 的反函数.

变量 被假定与 无关.
In[6]:=
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Out[6]=
积分变量可以是不显含数学运算的任何表达式.
In[7]:=
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Out[7]=

Integrate 隐含的另一个假定是积分中的所有符号量有"一般"值.例如,Mathematica 给出 ,尽管当 时它不正确.

Mathematica 给出此积分的标准结果,隐含假定 不等于 .
In[8]:=
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Out[8]=
如果专门给出指数 Mathematica 则给出不同的结果.
In[9]:=
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Out[9]=

应当注意,任何特定积分的结果常常能表为不同的形式. Mathematica 尽量给出最方便的形式,它遵循这样的原则:在输出中避免包含复数,除非输入中已含复数.

这个积分用 ArcTan 表出.
In[10]:=
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Out[10]=
这个积分用 ArcTanh 表出.
In[11]:=
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Out[11]=
此式与第一个积分在数学上相等但形式不同.
In[12]:=
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Out[12]=
导数仍然是正确的.
In[13]:=
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Out[13]=
尽管看起来相当不同,但 ArcTan[x]-ArcTan[1/x] 都是 的不定积分.
In[14]:=
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Out[14]=
Integrate 选择使用两个形式中较简单的一种.
In[15]:=
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Out[15]=
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