積分変換と関連する演算

ラプラス変換

LaplaceTransform[expr,t,s]expr のラプラス変換
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]expr の逆ラプラス変換

一次元ラプラス変換

関数 のラプラス変換は, で与えられる. の逆ラプラス変換は,適当な の値に対して で与えられる.

簡単なラプラス変換を求める.
In[1]:=
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Out[1]=
逆ラプラス変換を求める.
In[2]:=
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Out[2]=
簡単な変換でも特殊関数が必要になることがしばしばある.
In[3]:=
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Out[3]=
結果にはマイヤーのG関数が含まれる.
In[4]:=
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Out[4]=
InverseLaplaceTransformはもとの関数を返す.
In[6]:=
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Out[6]=
このベッセル関数のラプラス変換は基本的な関数のみを含む.
In[5]:=
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Out[5]=

ラプラス変換は,本質的に微積分を代数演算に変換するという特性がある.従って,一般に微分方程式で支配される系に広く使用される.

ラプラス変換を施すと,積分は の乗算となる.
In[6]:=
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Out[6]=
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,...},{s1,s2,...}]
expr の多次元ラプラス変換
InverseLaplaceTransform[expr,{s1,s2,...},{t1,t2,...}]
expr の多次元逆ラプラス変換

多次元ラプラス変換

フーリエ変換

FourierTransform[expr,t,]expr のフーリエ変換
InverseFourierTransform[expr,,t]expr の逆フーリエ変換

一次元フーリエ変換

この場合,積分変換はHeavisideThetaのような「一般化された関数」を含む結果を返すことがある.
In[1]:=
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Out[1]=
逆変換を見付ける.
In[2]:=
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Out[2]=

Mathematica では関数 のフーリエ変換は,デフォルトでは で定義される.の逆フーリエ変換は同様に として定義される.

科学技術分野では,分野によりフーリエ変換の定義に異なったさまざまな規約が用いられる.MathematicaFourierParametersオプションで任意の規約を選択することができる.

共通規約設定フーリエ変換逆フーリエ変換
Mathematica デフォルト
純粋数学
古典物理学
現代物理学
システム工学
信号処理{0, -2Pi}
一般の場合

さまざまな規約のFourierParametersの典型的な設定

パラメータとしてデフォルトを選択をしたフーリエ変換である.
In[3]:=
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Out[3]=
信号処理で通常用いられるパラメータを選択した同じフーリエ変換である.
In[4]:=
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Out[4]=
FourierSinTransform[expr,t,]フーリエ正弦変換
FourierCosTransform[expr,t,]フーリエ余弦変換
InverseFourierSinTransform[expr,,t]
逆フーリエ正弦変換
InverseFourierCosTransform[expr,,t]
逆フーリエ余弦変換

フーリエ正弦,余弦変換

フーリエ変換を使う分野によっては複素指数を全く使用しない方が便利なことがある.フーリエ正弦および余弦変換では,の代りにそれぞれを積分し,の代りに0からの範囲で積分する.

のフーリエ正弦,余弦変換である.
In[5]:=
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Out[5]=
FourierTransform[expr,{t1,t2,...},{1,2,...}]
expr の多次元フーリエ変換
InverseFourierTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}]
expr の多次元逆フーリエ変換
FourierSinTransform[expr,{t1,t2,...},{1,2,...}], FourierCosTransform[expr,{t1,t2,...},{1,2,...}]
expr の多次元正弦,余弦フーリエ変換
InverseFourierSinTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}], InverseFourierCosTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}]
expr の多次元正弦および余弦逆フーリエ変換

多次元フーリエ変換

二次元フーリエ変換を評価する.
In[6]:=
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Out[6]=
逆フーリエ変換を施す.
In[7]:=
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Out[7]=

Z変換

ZTransform[expr,n,z]expr のZ変換
InverseZTransform[expr,z,n]expr の逆Z変換

Z変換

関数 のZ変換は, で与えられる.の逆Z変換は,線積分 で与えられる.Z変換は離散化されたラプラス変換に相当する.特にデジタル信号処理や制御理論等で差分方程式の解法に幅広く用いられている.これらは組合せ理論および数論でよく使用される生成関数を作成するものと考えられる.

のZ変換を計算する.
In[1]:=
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Out[1]=
逆Z変換を施す.
In[2]:=
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Out[2]=
の生成関数は指数関数である.
In[3]:=
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Out[3]=
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