積分変換と関連する演算
ラプラス変換
一次元ラプラス変換
関数 
のラプラス変換は，
で与えられる． 
の逆ラプラス変換は，適当な 
の値に対して
で与えられる．
| Out[1]= |  |
| Out[2]= |  |
簡単な変換でも特殊関数が必要になることがしばしばある．
| Out[3]= |  |
| Out[4]= |  |
| Out[6]= |  |
このベッセル関数のラプラス変換は基本的な関数のみを含む．
| Out[5]= |  |
ラプラス変換は，本質的に微積分を代数演算に変換するという特性がある．従って，一般に微分方程式で支配される系に広く使用される．
ラプラス変換を施すと，積分は
の乗算となる．
| Out[6]= |  |
| LaplaceTransform[expr,{t1,t2,...},{s1,s2,...}] |
| 式 expr の多次元ラプラス変換 |
| InverseLaplaceTransform[expr,{s1,s2,...},{t1,t2,...}] |
| 式 expr の多次元逆ラプラス変換 |
多次元ラプラス変換
フーリエ変換
一次元フーリエ変換
| Out[1]= |  |
| Out[2]= |  |
Mathematica では関数 
のフーリエ変換は，デフォルトでは
で定義される．
の逆フーリエ変換は同様に
として定義される．
科学技術分野では，分野によりフーリエ変換の定義に異なったさまざまな規約が用いられる．Mathematica のFourierParametersオプションで任意の規約を選択することができる．
| 共通規約 | 設定 | フーリエ変換 | 逆フーリエ変換 |
| Mathematica デフォルト |  |  |  |
| 純粋数学 |  |  |  |
| 古典物理学 |  |  |  |
| 現代物理学 |  |  |  |
| システム工学 |  |  |  |
| 信号処理 | {0, -2Pi} |  |  |
| 一般の場合 |  |  |  |
さまざまな規約のFourierParametersの典型的な設定
パラメータとしてデフォルトを選択をしたフーリエ変換である．
| Out[3]= |  |
信号処理で通常用いられるパラメータを選択した同じフーリエ変換である．
| Out[4]= |  |
フーリエ正弦，余弦変換
フーリエ変換を使う分野によっては複素指数を全く使用しない方が便利なことがある．フーリエ正弦および余弦変換では，
の代りにそれぞれ
と
を積分し，
と
の代りに0から
の範囲で積分する．
のフーリエ正弦，余弦変換である．
| Out[5]= |  |
FourierTransform[expr,{t1,t2,...},{ 1,2,...}] |
| 式 expr の多次元フーリエ変換 |
| InverseFourierTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}] |
| 式 expr の多次元逆フーリエ変換 |
| FourierSinTransform[expr,{t1,t2,...},{1,2,...}],
FourierCosTransform[expr,{t1,t2,...},{1,2,...}] |
| 式 expr の多次元正弦，余弦フーリエ変換 |
| InverseFourierSinTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}],
InverseFourierCosTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}] |
| 式 expr の多次元正弦および余弦逆フーリエ変換 |
多次元フーリエ変換
| Out[6]= |  |
| Out[7]= |  |
Z変換
Z変換
関数 
のZ変換は，
で与えられる．
の逆Z変換は，線積分
で与えられる．Z変換は離散化されたラプラス変換に相当する．特にデジタル信号処理や制御理論等で差分方程式の解法に幅広く用いられている．これらは組合せ理論および数論でよく使用される生成関数を作成するものと考えられる．
のZ変換を計算する．
| Out[1]= |  |
| Out[2]= |  |
の生成関数は指数関数である．
| Out[3]= |  |
