积分变换和相关运算
拉普拉斯变换
一维拉普拉斯变换.
函数 
的拉普拉斯变换定义为 
. 
的拉普拉斯反变换由 
给出，其中 
是一个适当的实数.
| Out[1]= |  |
| Out[2]= |  |
| Out[3]= |  |
| Out[4]= |  |
| Out[6]= |  |
| Out[5]= |  |
拉普拉斯变换能把积分和微分运算转换为基本代数运算. 因此常常被用于研究微分方程确定的系统.
通过拉普拉斯变换，积分变为与
的乘法运算.
| Out[6]= |  |
| LaplaceTransform[expr,{t1,t2,...},{s1,s2,...}] |
| expr 多维拉普拉斯变换 |
| InverseLaplaceTransform[expr,{s1,s2,...},{t1,t2,...}] |
| expr 多维拉普拉斯反变换 |
多维拉普拉斯变换.
傅立叶变换
一维傅立叶变换.
| Out[1]= |  |
| Out[2]= |  |
在 Mathematica 中，函数 
的傅立叶变换默认其定义为 
. 
的的傅立叶反变换由 
给出.
在不同的学科中，对傅立叶变换的定义有不同的规定. Mathematica 中的选项 FourierParameters 允许用户选择某个规定.
| 常见规定 | 设置 | 傅立叶变换 | 傅立叶反变换 |
| Mathematica 缺省值 |  |  |  |
| 纯粹数学 |  |  |  |
| 古典物理 |  |  |  |
| 现代物理 |  |  |  |
| 系统工程 |  |  |  |
| 信号处理 | {0, -2Pi} |  |  |
| 一般情形 |  |  |  |
在各种规定下，对 FourierParameters 的设置.
| Out[3]= |  |
这是同一个傅立叶变换，其参数选择按照信号处理中的规定.
| Out[4]= |  |
傅立叶正弦变换和余弦变换.
在傅立叶变换的某些应用中，避免引入副指数会带来方便. 傅立叶正弦变换和余弦变换分别对应于 
和 
，而不是 
，积分限是从 0 到 
而不是从 
到 
.
这是
的傅立叶正弦变换和余弦变换.
| Out[5]= |  |
FourierTransform[expr,{t1,t2,...},{ 1,2,...}] |
| expr 的多维傅立叶变换 |
| InverseFourierTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}] |
| expr 的多维傅立叶反变换 |
| FourierSinTransform[expr,{t1,t2,...},{1,2,...}],
FourierCosTransform[expr,{t1,t2,...},{1,2,...}] |
| expr 的多维傅立叶正弦和余弦变换 |
| InverseFourierSinTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}],
InverseFourierCosTransform[expr,{1,2,...},{t1,t2,...}] |
| expr 的多维傅立叶正弦和余弦反变换 |
多维傅立叶变换.
| Out[6]= |  |
| Out[7]= |  |
Z 变换
Z 变换.
函数 
的Z 变换定义为：
. 
的 Z 反变换由围道积分
给出. Z 变换是拉普拉斯变换在离散情况下的对应变换. 它广泛应用于求解差分方程，特别在数字信号处理和控制论中. 它能被看作生成母函数， 常常用于组合数学和数论中.
此处计算
的Z 变换.
| Out[1]= |  |
| Out[2]= |  |
的母函数是指数函数.
| Out[3]= |  |
