MATHEMATICA 教程

能积出和积不出的积分

计算积分比计算导数困难得多. 对于导数,按照基于链导法的系统步骤,任何导数都可以有效地计算出来. 但对于积分,没有这样的系统步骤.

主要问题之一是对于特定的积分弄清楚需要什么类型的函数是很困难的,在计算导数时,结果总是与所求导函数同类型的或更简单的函数. 但计算积分时常常需要使用比被积函数复杂得多的函数.

此积分能够用与输入中的同种函数来表示.
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=
但对此函数的积分,需要使用特殊函数 LogIntegral.
In[2]:=
Click for copyable input
Out[2]=
求需要各种函数的积分并不困难.
In[3]:=
Click for copyable input
Out[3]=
此积分涉及一个不完全伽马函数. 注意其中幂的形式,它允许任何 的复数值.
In[4]:=
Click for copyable input
Out[4]=

Mathematica 包含了非常广泛的数学函数,使用这些函数,众多积分能够被计算. 但仍然有看起来很简单,但根据标准数学函数无法计算的积分.

这里是一个看起来相当简单的积分,但不能用任何标准数学函数来表示.
In[5]:=
Click for copyable input
Out[5]=

能够用标准数学函数积分的要点是,它能让人们使用这些函数的已知性质来计算或处理所得的结果.

在最方便的情况下,积分可以纯粹地根据诸如指数函数、对数函数和三角函数等初等函数进行计算. 事实上,如果给出一个仅含这种初等函数的积分,那么 Integrate 的重要能力之一是如果该积分能用初等函数表示,那么 Integrate 将总能成功地计算出它.

有理函数的积分很直接,并且总能用有理函数、对数函数和反三角函数给出结果.
In[6]:=
Click for copyable input
Out[6]=
这里的积分仍然是相同的形式,但现在包含着多项式根的隐含和.
In[7]:=
Click for copyable input
Out[7]=
这里求出所有根对象的数值近似.
In[8]:=
Click for copyable input
Out[8]=
三角函数的积分通常用三角函数给出结果.
In[9]:=
Click for copyable input
Out[9]=
这是一个包含代数函数的很简单的积分.
In[10]:=
Click for copyable input
Out[10]=
这里是一个包含嵌套平方根的积分.
In[11]:=
Click for copyable input
Out[11]=
通过初等函数的嵌套,有时可得到能用初等函数表示的积分.
In[12]:=
Click for copyable input
Out[12]=
但更常见的是需要其它类型的函数.
In[13]:=
Click for copyable input
Out[13]=
如这样的积分通常用椭圆函数给出结果.
In[14]:=
Click for copyable input
Out[14]=
偶尔也能仅用初等函数给出结果.
In[15]:=
Click for copyable input
Out[15]=
如这样的积分能使用 Piecewise 系统地计算.
In[16]:=
Click for copyable input
Out[16]=

除过用初等函数以外,Integrate 包含了大量的处理特殊函数的算法. 有时它使用对于初等函数的步骤的一个直接推广. 但更常见的策略是首先试着将积分用能根据某些复杂的特殊函数进行积分的形式写出,然后尽力将这些函数化简为更熟悉的函数.

贝塞尔函数的积分需要广义超几何函数.
In[17]:=
Click for copyable input
Out[17]=
有时积分能化简为更熟悉的形式.
In[18]:=
Click for copyable input
Out[18]=

一本积分表的厚书将列出大约几千个不定积分. Mathematica 基本上能做所有这些积分. 并且,因为它包含着一般算法,而不是针对特殊情形,所以 Mathematica 实际上能计算范围更广的积分.

在积分表的书中能够查到这个积分.
In[19]:=
Click for copyable input
Out[19]=
但做这个积分,需要更一般的算法,仅靠直接查表不行.
In[20]:=
Click for copyable input
Out[20]=

当用户引入一个新的数学函数时,可能想告诉 Mathematica 一种新积分. 这可以通过对 Integrate 做一个适当定义实现.

求微分时,链导法使得能将导数化为标准形式,在 Mathematica 中用 Derivative 表示. 但对于积分,没有类似的标准形式,因此,常常需要对同一积分定义几种不同形式. Integrate 很少能够自动进行变量的变换或其它转换.

这个积分用 Mathematica 内部的标准函数计算不出来.
In[21]:=
Click for copyable input
Out[21]=
对积分添加新规则时,必须先去掉写保护.
In[22]:=
Click for copyable input
Out[22]=
可以建立自己的规则来定义前一积分为"Jones"函数.
In[23]:=
Click for copyable input
现在 Mathematica 能求出该积分,给出 Jones 函数.
In[24]:=
Click for copyable input
Out[24]=

实际上,积分 原理上可以用超几何函数 的无限和或两个变量的适当广义 Kampé de Fériet 超几何函数来表示.

New to Mathematica? Find your learning path »
Have a question? Ask support »