数值微分方程求解的实用程序包
InterpolatingFunctionAnatomy
NDSolve 把解作为 InterpolatingFunction 对象返回. 在大多数情况下，简单地把这些作为函数使用可以实现所需的目的，但是有时访问内部的数据是有用的，这包括实际值和 NDSolve 采取步骤时计算的点. 一个InterpolatingFunction 对象的结构被精确编排使得数据的存储更有效，在一个给定点的计算速度更快. 该结构在 Mathematica 版本之间可能发生改变，因此访问 InterpolatingFunction 对象的代码对于新的 Mathematica 版本可能不适用. 
程序包提供了为将来的 Mathematica 版本维护的 InterpolatingFunction 对象中的数据接口.
InterpolatingFunction 对象的分解.
一个 
程序包变得有用的常见情况是：当 NDSolve 无法在指定的整个值域上计算一个解，并且用户想要把所有计算所得的解画出图形，以便于尝试对可能出现的错误有更好的理解.
下面是一个微分方程的例子，对这个微分方程不能计算到指定的端点.
| Out[2]= |  |
| Out[3]= |  |
一旦这个区域域已经在一个列表中返回，则很容易使用
Part 获取所需的端点，并且画出图形.
| Out[5]= |  |
从图形中，很显然可以看出形成了一个奇异点，不可能对系统进一步积分.
有时候，查看 NDSolve 在哪里采取步进是有用的. 获取坐标对于实现此目的是有用的.
下面显示在采取的每个步骤中
NDSolve 计算所得的值. 由此可以很明显地看出，将近所有步骤都用来试图解决奇异点.
该程序包对于分析偏微分方程的计算解尤其有用.
使用这个初始条件，Burgers 方程形成了一个陡峭的前端（front）.
| Out[9]= |  |
| Out[10]= |  |
以下表明无法解决前端（front）问题已经表现为数值不稳定性.
| Out[11]= |  |
以下显示在时间积分的端点，在空间网格点计算所得的值.
| Out[14]= |  |
从点图中很容易看出，前端（front）还没有被分辨.
以下产生一个三维图形，显示了每个空间网格点的时间演化. 初始条件用红色显示.
| Out[15]= |  |
当采用 InterpolatingFunction 对象的一个导数时，则返回一个新的 InterpolatingFunction 对象，那么在一个点上计算时，它会给出要求的导数. 
是决定哪种导数应该计算的一种方法.
| Out[16]= |  |
| Out[17]= |  |
NDSolveUtilities
我们已经编写了许多实用例程来用来对不同的 NDSolve 方法进行考查和比较. 这些函数收集在程序包 
中.
| CompareMethods[sys,refsol,methods,opts] | 返回应用到系统 sys 的不同方法的统计 |
| FinalSolutions[sys,sols] | 关于对应于系统 sys 的不同解 sols，在数值积分的末尾返回解的值 |
| InvariantErrorPlot[invts,dvars,ivar,sol,opts] | 返回解 sol 的不变量 invts 中的误差的图形 |
| RungeKuttaLinearStabilityFunction[amat,bvec,var] | 使用变量 var 返回朗格-库塔方法的线性稳定性函数，其中系数矩阵 amat 和权向量 bvec |
| StepDataPlot[sols,opts] | 以对数度量返回解 sols 采用的步长的图形 |
程序包中提供的函数.
分析朗格-库塔方法的有益途径是当应用到一个标量线性测试问题时，研究他们如何表现（见程序包 FunctionApproximations.m）.
下面对阶数为4的2-阶段隐式朗格-库塔高斯方法的系数进行（精确或者精度无限高）的负值.
| Out[19]= |  |
下面计算线性稳定性函数，它对应于在原点的指数的 (2,2) Padé 近似.
| Out[20]= |  |
函数 
、
、
和 
的例子可以在 "NDSolve 的 "ExplicitRungeKutta" 方法" 中找到.
函数 
的例子可以在 "NDSolve 的"Projection"方法" 中找到.
InvariantErrorPlot 选项
函数 
具有许多可以用来控制结果形式的选项.
函数 
的选项.
的默认值用来从输入的结构确定维度，Dimensions[invts].
的默认值是一个计算绝对误差的函数.
的默认值是如果所采取的步骤小于1000，则对所有点采样，在这个阈值之上，则使用一个对数采样率.
