刚体求解器
引言
一个质心位于原点的自由刚体的运动方程由以下欧拉方程给出（见 [MR99]）.
该系统的两个二次型初积分是：
第一个约束条件实际是把运动从 
限制在到一个球面上. 第二个约束表示系统的动能，与第一个不变量一起，把运动限制在球面上的椭圆内.
[HLW02] 中给出了各种方法的数值试验，现在将把各种 NDSolve 方法进行比较.
流形生成和功用函数
运动方程沿着单位球上的闭合曲线演化. 这里生成一个三维图形对象来表示单位球体.
方法比较
可以用各种积分方法来求解欧拉方程，它们各有不同的相关代价和不同的动力学性质.
Adams 多步方法
| Out[22]= |  |
该解在看上去给出了球面上的一个闭合曲线. 然而，误差图示表明两个约束被都没有得到特别好的满足.
| Out[23]= |  |
欧拉和隐式中点法
这里使用具有指定固定步长的隐式中点法求解运动方程.
这里显示用欧拉方法（左）和隐式中点法（右），运动方程的数值解在单位球面上的叠加.
| Out[21]= |  |
这里显示使用欧拉方法（左）和隐式中点法（右）的数值解的分量.
| Out[32]= |  |
正交投影法
这里用
方法来求解方程.
| Out[34]= |  |
绘制不变量的误差关于时间的图形，可以看出，正交投影法只保持两个不变量之一不变.
| Out[35]= |  |
投影法
方法 
采用一个约束条件的集合，并且在每个积分步骤的末尾把解投影到一个流形上.
一般来说，问题的所有不变量都应该在投影中使用；否则，数值解可能实际上比未投影的解质量更差.
投影一个约束
| Out[39]= |  |
| Out[40]= |  |
| Out[43]= |  |
| Out[44]= |  |
投影多个约束
| Out[47]= |  |
| Out[48]= |  |
"Splitting" 方法
一个产生高效显式积分方法的分裂是分别由 McLachlan [M93] 和 Reich [R93] 独立推导出来.
把一个常微分方程的流 
写为 
.
微分系统被分成三个部分：
、
和 
，其中每一个都是哈密顿系统，并且可以被精确求解.
哈密尔顿系统被求解，并且在每个积分步重组：
| Out[58]= |  |
| Out[59]= |  |
| Out[60]= |  |
| Out[61]= |  |
解
这里定义了一个对称二阶分裂法（splitting method）. 其系数自动从方程的结构确定，并且该系数是一个斯特朗分裂（Strang splitting）的扩展.
| Out[64]= |  |
一个不变量保持在舍入误差内，而第二个不变量中的误差仍然是有界的.
| Out[65]= |  |
