コンポーネントとデータ構造

はじめに

NDSolveはいくつかの基本的なステップに分けることができる.高度な使い方では,これらのステップを別々に実行するためのコンポーネントにアクセスした方が便利なこともある.

  • 方程式の処理とメソッドの選択
  • メソッドの初期化
  • 数値解法
    • 解の処理

    NDSolveはこれらのステップをすべて内部的に実行するため,通常ユーザはその詳細を見ることはない.

    以下はこれらのステップを分割するのに使われる低レベル関数である.

    は,微分方程式系を初期値問題,境界値問題,微分代数問題,偏微分問題等に分ける.また適切なデフォルトの積分メソッドを選択し,メインのデータ構造を構築する.

    は数値解法を進める.最初の起動(複数の場合もある)で数値積分法が初期化される.

    は数値データをInterpolatingFunctionに変換し,それぞれの解を表すようにする.

    は微分方程式系を解くのに,全体の時間の大部分を使用することがある.そのような場合は,このステップを1度だけ実行し,を使って異なるオプションや初期条件で繰返しとくようにするとよい.

例題

方程式を処理し,微分方程式系を解くためのデータ構造を設定する.
In[27]:=
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Out[27]=
メソッドを初期化し,時間10まで系を積分する.の戻り値は余計な参照を避けるためにNullとする.
In[28]:=
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解のデータ集合それぞれをInterpolatingFunctionに変換する.
In[29]:=
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Out[29]=
解をInterpolatingFunctionとして表すことにより,数値解の格子の一部ではない点に対してさえも連続的な出力が可能になる.
In[30]:=
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Out[30]=

ProcessEquations

NDSolveを使うあらゆる解法の第一段階は,指定された方程式を,実際の積分アルゴリズムが効率よくアクセスできる形式に処理することである.この段階には最低限でも,各変数の微分階数の決定,一階の系を得るために必要な代替の生成,関数についての関数の時間微分の解決,その結果のオブジェクトへの変換が含まれる.同じ方程式の集合にこの処理を繰り返す時間を節約したい場合,または,数値積分処理をもっと自分でコントロールしたい場合は,で処理段階を別々に実行することができる.

NDSolve`ProcessEquations[{eqn1,eqn2,...},{u1,u2,...},t]
関数の微分方程式を標準形に処理する.関数についての関数の時間微分の解と,各解に関連するデータを含むオブジェクトのリストを返す.t は,NDSolveのように値の範囲のリストで指定することができる
NDSolve`ProcessEquations[{eqn1,eqn2,...},{u1,u2,...},{x1,x1min,x1max},{x2,x2min,x2max},...]
関数の偏微分方程式を標準形に処理する.関数について,その関数の時間微分の解と,各解に関連するデータを含むオブジェクトのリストを返す. が時間変数ならば,これは境界 で指定する必要はない

NDSolve方程式の処理

以下では, についての に可能な解が2つあるので,2つのオブジェクトのリストが作成される.
In[31]:=
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Out[31]=

Reinitialize

より高度な問題の解を求める際,同じ微分方程式を異なる初期条件で繰返し解くことは珍しくない.方程式を処理するのに,微分方程式を数値的に積分するのと同じくらいの時間がかかることもある.このような場合,簡単に新しい初期値を与えることができると非常に便利である.

NDSolve`Reinitialize[state,conditions]方程式と変数を,オブジェクト state を作成するのに使われたものと同じと仮定して,方程式 conditions の関数の初期値に対する可能な各解について1つの新しいオブジェクトを作成し,そのリストを形成する

処理された方程式の再利用

調和振動のオブジェクトが作成される.
In[32]:=
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Out[32]=
異なる初期条件を持つ3つの新しいオブジェクトが作成される.
In[33]:=
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Out[33]=

を使うと,同じ微分方程式を多くの異なる初期条件で解く必要があるときに,境界値問題の狙い撃ち法のように,計算時間を短縮することができる.

NDSolveオプションの部分集合は,のオプションとして指定することができる.

これにより初期の刻み幅を指定する新しいが生成される.
In[34]:=
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Out[34]=

解の反復

オブジェクトの使い方で大切なもののひとつに,積分をよりコントロールできるというものがある.問題によっては,解をチェックしてやり直すことや,状況に応じてパラメータを変更することが適切なものもある.

NDSolve`Iterate[state,t]変数 state の値として割り当てられたオブジェクトの微分方程式の解を現在の時間から時間t まで計算する

微分方程式の解の反復

陽的ルンゲ・クッタ法を使って,さまざまな係数を持つ振動方程式を解くのに必要な情報を含むオブジェクトを生成する.
In[35]:=
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Out[35]=

を使うときは,変数 の範囲を明示的に与える必要はない.その情報は,方程式を解くための形式に変更するのに必要ではないからである.しかし,PDEでは空間変数の範囲は適切な打切りを決定するのに必須であるため,その情報を与えなければならない.

時間 までの解を計算する.
In[36]:=
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は,変数状態に割り当てられたオブジェクトを変更するので,値を返さない.従って,このコマンドは「指標によるリストの操作」で説明してあるように,リストの部分を設定するのと類似の方法で変数の値に影響を及ぼす.state の値は積分の結果現在時間を表示するようになったので,その値が変化したということが分かる.

state の出力形式は,解の積分が実行された時間の範囲を示す.
In[37]:=
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Out[37]=

さらに積分したい場合は,時間の値を大きくして再度を呼び出してもよい.

以下は時間 までの解を計算する.
In[38]:=
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最初の現在時間よりも早い時間を指定することができる.この場合,積分は時間について逆に進行する.

初期条件から逆方向に までの解を計算する.
In[39]:=
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を使うと,中止する中間時間を指定することができる.これは,不連続を避けたい場合等に便利である.通常この手法は,この例で使用されている陽的ルンゲ・クッタ(Runge-Kutta)法のような,いわゆる1ステップ法で使った方が効果的である.しかし,これは通常デフォルトメソッドのNDSolveでも動作する.

, , ...において解に係数の不連続点の問題がないことを確認しながら, までの解を計算する.
In[40]:=
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解の関数の取得

ある時間まで系を積分したら,現在の解の値が調べられ,それまでに計算された解を表わす近似関数が生成できることが通常求められる.コマンドを使うと,両方行うことができる.

NDSolve`ProcessSolutions[state]state で計算された解をInterpolatingFunctionオブジェクトの規則のリストとして得る

InterpolatingFunctionオブジェクトとして解を得る

前のセクションで計算された解をInterpolatingFunctionオブジェクトとして抽出する.
In[41]:=
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Out[41]=
その解をプロットする.
In[42]:=
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Out[42]=

NDSolveを直接使った場合と同様に,の第2引数で指定した各関数に規則がある.解の指定された要素だけが,InterpolatingFunctionオブジェクトが生成できる様式で保存される.

NDSolve`ProcessSolutions[state,dir] 方向に最後に計算された解を,関数とその導関数両方の値を持つ規則のリストとして得る

現在の解の値を得る

現在の解の値と導関数を正方向で与える.
In[43]:=
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Out[43]=

方向 dir に指定できるのは,である.これらはそれぞれ初期条件から正方向の積分と逆方向の積分を意味する.

"Forward"一時変数の値を増加させる方向での積分
"Backward"一時変数の値を減少させる方向での積分
"Active"現在積分が行われている方向での積分.通常この値はアクティブな積分中に使われるメソッドの初期化からのみ呼び出される

積分方向の指定

の出力は,常に独立変数の指定値における従属変数,あるいは,保存された値全体に補間された従属変数で与えられる.つまり,偏微分方程式が積分されているとき,空間変数上の従属変数を表す結果が得られるということである.

時間 から までの熱方程式の解を計算する.
In[44]:=
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における解を与える.
In[46]:=
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Out[46]=

解は空間変数 を補間するInterpolatingFunctionオブジェクトとして与えられる.

における解を与える.
In[47]:=
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Out[47]=

偏微分方程式の現在の解を処理するとき,空間誤差推定がチェックされる(これは非常に時間がかかることがあるので,通常,解の生成時以外には行われない).空間誤差推定が過剰であるため,NDSolve::eerrというメッセージが表示される.熱方程式と「backward」という言葉との関連付けで不安定を意味するものにより,この例題で何が誤っているかのヒントが得られる.

以下は における解のプロットである.
In[41]:=
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Out[41]=

解のプロットにより,実際に不安定性が問題であることが分かる.

熱方程式の例題は簡単なので,逆方向時間の解に問題があるということが分かるが,を使って偏微分方程式の解を監視すると,結果的に希望通りの正確さにはならない解を計算する手間を省くことができる.別の簡単な監視形式は以下の通りである.

以下のコマンドを入力すると,一般化されたsine-Gordon方程式の解が計算されるに従って,それを表示する一連のプロットが生成される.
In[42]:=
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Out[44]=

このように解を監視すると,見付かった解で十分であると思ったときに計算を中断することが通常可能である.それでもまだオブジェクトを使うと,計算された解を得ることができる.

NDSolve`StateDataのプロパティ

オブジェクトには多くの情報が含まれているが,どこに情報が保存されているかを分かりやすくするような配列ではなく,解を反復するのが簡単になるように配列されている.しかし,状態データオブジェクトから情報が得たい場合もあるだろう.この目的のため,情報へのアクセスが簡単にできるようなプロパティがいくつか定義されている.

オブジェクトからの情報の最も重要な用途の一つに,積分メソッドの設定というものがある.この例は「NDSolveのメソッドプラグインフレームワーク」に示してある.

state@"Variables"解データに従って構造化されたすべての変数のリストのリストを与える
state@"VariableDimensions"変数それぞれの次元のリストを与える
state@"VariablePositions"解データに含まれる,各変数の位置のリストを与える
state@"NumericalFunction"一時変数 t について,解ベクトルの導関数を評価するのに使われるNumericalFunctionオブジェクトを与える
state@"ProcessExpression"[args,expr,dims]
数値的に expr を評価するためのNumericalFunctionオブジェクトを与える state を生成するのににより使われた変数変換と同じものを使って,式 expr を処理する.args は数値関数の引数であり,All,あるいは系の従属変数である引数のリストのどちらかである.dimsAutomatic,あるいは数値的関数の結果に想定される次元を与える明示的なリストである
state@"SystemSize"解かれようとしている一階常微分方程式の有効な数を与える
state@"MaxSteps"微分方程式を反復するのに許される最大回数
state@"WorkingPrecision"方程式を解くために使われる作業精度を与える
state@"Norm"誤差を測定するために使われる,スケールされたノルム

オブジェクト state のプロパティ

以下は振り子方程式のオブジェクトである.
In[78]:=
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Out[78]=
系の大きさを得る.
In[79]:=
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Out[79]=

2つのスカラー常微分方程式があるので,系の大きさは2になる.

利用できる情報の多くは,現在の解の値に依存する. NDSolveは前進と後退(初期条件時から)の積分方向で異なるデータを保存する.このデータには次の方向性によってアクセスすることができる.

state@"SolutionData"[dir]解データの現在の値を積分方向 dir で与える
state@"TimeStep"[dir]次のステップの時間刻みを積分方向 dir で与える
state@"TimeStepsUsed"[dir]現在の時間を得るために使う時間刻みの数を積分方向 dir で与える
state@"MethodData"[dir]使用されるメソッドデータオブジェクトを積分方向 dir で与える

オブジェクト state の方向性

方向引数が省略されると,両方向のデータを含むリスト(初期条件において1つの要素を持つリスト)が返される.省略しない場合は,方向は前のセクションで指定されているようにのいずれかである.

時間刻みは,StartingStepSizeオプションで明示的に指定されていない限り,積分が開始するまで初期化されない.
In[80]:=
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Out[80]=
まで積分して,前進方向の時間刻みを得る.
In[81]:=
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Out[82]=
後退,前進の両方向で使われる時間刻みの数である.
In[83]:=
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Out[83]=
振り子の例題の解データを得る.
In[84]:=
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Out[84]=

SolutionData

解データは,それぞれの型の解の成分の値のリストのリストで構成されている.解データの成分は,時間,従属変数,離散変数等の異なる型の変数である.特定の問題に使われていない成分はすべて空のリスト()かNoneとして与えられる.

NDSolve`SolutionDataComponent[sd,c]解データ sd から解の成分 c を得る
NDSolve`SetSolutionDataComponent[sd,c,v]シンボル sd に割り当てられた解データにおいて解の成分 cv に設定する
nf@"SolutionDataComponents"NDSolveで使われるNumericalFunction nf の引数として使われる解データの成分を与える

解データ成分の取得と設定

解データの成分は次の表で与えられる.

簡略名
完全名    
成分
"T""Time"現在の時間
"S""Space"空間離散化
"X""DependentVariables"離散変数以外の従属変数の現行値
"X'""TemporalDerivatives"従属変数の時間導関数
"D""DiscreteVariables"値の連続範囲を取る離散変数
"ID""IndexedDiscreteVariables"値の有限集合を取る離散変数 
"P""Parameters"感度が計算されるパラメータ以外のパラメータ
"SP""SensitivityParameters"感度が計算されるパラメータ

解データの成分

以下は まで計算された,離散変数を持つ振り子方程式の解に対するオブジェクトである.
In[137]:=
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Out[139]=
この問題で使われる変数を示す.
In[140]:=
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Out[140]=
従属変数を示す.
In[141]:=
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Out[141]=
以下は,前進と後退の両方の方向の現行の解データを取得する.
In[142]:=
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Out[142]=
次は前進方向の従属変数成分の値を取得する.
In[143]:=
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Out[143]=
次は後退方向の離散変数を取得する.
In[144]:=
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Out[144]=
以下は後退方向の指標付きの離散変数を取得する.この計算では離散変数が使われていないので,結果は空のリストになる.
In[145]:=
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Out[145]=

解データは,実質的にNDSolveが解を計算するために使う生データである.上の例題では,二階方程式は自動的にで一階の系に簡約されるので,従属変数の成分は長さ2のリストである.現行の解の部分をはっきり知りたいときは,を使うことができる.

規則を介して,変数に関連付けられた解データを得る.
In[146]:=
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Out[146]=

NumericalFunction

時間積分を行うときにNDSolveが使用するメソッドは,となるような常微分方程式の右辺の関数,あるいはとなるような微分代数方程式の残差関数で使うことができる.ここで は実数であり,,その他使用されている解データの要素はベクトルである.ベクトル および によって表される実際の変数は,もっと複雑な構造をしている可能性があるので,NDSolveは,ベクトル引数を取り,根底の関数に基づいてベクトルを返す中間段階のNumericalFunctionオブジェクトを使う.

ベクトルおよびスカラーの変数を持つ系に対するオブジェクトを得る.
In[112]:=
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Out[112]=
導関数を評価するNumericalFunctionを得る.
In[113]:=
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Out[113]=

評価のためにNDSolveが構築するNumericalFunctionは,問題が実際に使われる解データの成分を引数としてのみ使用する.プロパティを使うと,実際にどの成分が使われるかが分かる.

どの解データの成分が評価に必要かを調べる.
In[114]:=
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Out[114]=
初期の解データと評価引数を得る.
In[124]:=
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Out[124]=
In[125]:=
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Out[125]=

指標付きの離散変数は,Sign関数の非連続性自動処理によって,変数として導入された(以下に示す解を参照のこと).

系は常微分方程式なので,関数を評価すると時間導関数が与えられる.
In[126]:=
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Out[126]=
In[127]:=
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Out[127]=

与えられた問題の解データで評価することが簡単になるように,解データで評価する2つの便利な関数が含まれた.

NDSolve`EvaluateWithSolutionData[nf,sd]解データのリスト sd の引数でNumericalFunction nf を評価する
NDSolve`EvaluateJacobianWithSolutionData[nf,sd,c]解データ成分 c のすべての変数について,ヤコビアン導関数を評価する

解データで評価する

解データのリストを使って関数を評価する.
In[118]:=
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Out[118]=

NumericalFunctionが実行することの一つに,導関数を自動的に処理するというものがある.デフォルトでは,記号的導関数が見付かったらそれが使われる.見付からなかったら,有限差分が使われる.

ヤコビアンを従属変数について評価する.
In[119]:=
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Out[119]=

次の例では,ベクトルの引数とDot積が使われているため有限差分が使われる.

積分し,の解をプロットする.
In[121]:=
Click for copyable input
Out[122]=

NDSolveの変数のある関数を評価するために,NumericalFunctionを設定しておくと便利なことがある.これはを使って設定できる.

組込みメソッドの多くは,この過程をメソッドの初期化中に行うので,関数は何回でも効率よく評価することができる.例えば,"projection"メソッドは,その初期値から不変数の偏差を評価する関数を設定し,各ステップの後で投射を実装するために導関数を使用する.

振動子のオブジェクトを設定する.
In[67]:=
Click for copyable input
エネルギー積分のNumericalFunctionを作成する.
In[68]:=
Click for copyable input
Out[68]=
初期条件で評価する.
In[69]:=
Click for copyable input
Out[69]=
積分中に一定間隔で監視されたエネルギーのプロットを作成する.
In[70]:=
Click for copyable input
Out[70]=
エネルギーの偏差は,解が までにどれほど高速で振動しているかを考えると,実際は小さいといえる.
In[71]:=
Click for copyable input
Out[71]=
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