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已命名的群
Mathematica 对许多重要的有限群提供置换表示. 其中有些是无限族的成员，被一个或多个整数参数化；其它群按它们特殊的属性被单独区分，且经常以它们的发现者来命名.
| In[1]:= |
| Out[1]= |  |
| In[2]:= |
| Out[2]= |  |
| In[3]:= |
| Out[3]= |  |
| In[4]:= |
| Out[4]= |  |
| In[5]:= |
| Out[5]= |  |
Mathematica 为以下群的无限族以及一些不属于参数化系列的群提供信息.
| SymmetricGroup[n] | n 次对称群 |
| AlternatingGroup[n] | n 次交错群 |
| CyclicGroup[n] | n 阶循环群 |
| DihedralGroup[n] | 2n 阶，n 边形的二面体群 |
| AbelianGroup[{n1,n2,...}] | 同构于多个循环群直积的阿贝尔（Abel）群 |
马提厄（Mathieu）群
以下5个 Mathieu 群是5个在19世纪的下半叶首先被发现的散在单群，它们都是多重传递群而且均是最大群的子群. Mathematica 为它们提供默认的置换表示.
| MathieuGroupM11 | 第一个 Mathieu 群，作用于11个点 |
| MathieuGroupM12 | 第二个 Mathieu 群，作用于12个点 |
| MathieuGroupM22 | 第三个 Mathieu 群，作用于22个点 |
| MathieuGroupM23 | 第四个 Mathieu 群，作用于23个点 |
| MathieuGroupM24 | 第五个 Mathieu 群，作用于24个点 |
| In[6]:= |
| Out[6]= |  |
作用于24个点的 MathieuGroupM24 置换表示的显式生成元.
| In[7]:= |
| In[8]:= |
| Out[8]= |  |
为了显示 MathieuGroupM24 是5可递的，验证群自身以及其首四个稳定子群的传递性.
| In[9]:= |
| Out[9]= |  |
| In[10]:= |
| Out[10]= |  |
| In[11]:= |
| Out[11]= |  |
| In[12]:= |
| Out[12]= |  |
| In[13]:= |
| Out[13]= |  |
| In[14]:= |
| Out[14]= |  |
以下是群中一个基的点的稳定子群的阶数. 它们对应与群 MathieuGroupM24、MathieuGroupM23、MathieuGroupM22，以及其它三个群，有时称为Mathieu 群 
、Mathieu 群 
、以及 Mathieu 群 
，但并不是单群. 最后是阶数为3的循环群和平凡群.
、Mathieu 群 、以及 Mathieu 群 ，但并不是单群. 最后是阶数为3的循环群和平凡群.| In[15]:= |
| Out[15]= |  |
| In[16]:= |
| Out[16]= |  |
已经发现，MathieuGroupM24 中最大的置换阶数是 23. 以下是一个例子.
| In[17]:= |
| Out[17]= |  |
| In[18]:= |
| Out[18]= |  |
| In[19]:= |
| Out[19]= |  |
其它散在单群
有26个散在单群（如果包括 Tits 群则有27个）. 除了5个 Mathieu 群，Mathematica 对于那些中等支撑长度的群提供置换表示. 最大的因为太大了而实际中不能以置换群来处理，而以矩阵群表示则更有效. 以下是13个群（包括 Tits 群），它们在少于50000个点的域中表示是已知的.
| HigmanSimsGroupHS | 希格曼-西姆斯（Higman-Sims）散在单群  |
| McLaughlinGroupMcL | 麦克劳林（McLaughlin）散在单群  |
| JankoGroupJ1 | 詹柯（Janko）散在单群  |
| JankoGroupJ2 | 詹柯（Janko）散在单群  |
| JankoGroupJ3 | 詹柯（Janko）散在单群  |
| ConwayGroupCo2 | 康威（Conway）散在单群p  |
| ConwayGroupCo3 | 康威（Conway）散在单群  |
| SuzukiGroupSuz | 铃木（Suzuki）散在单群  |
| HeldGroupHe | 赫尔得（Held）散在单群  |
| RudvalisGroupRu | 路多里斯（Rudvalis）散在单群  |
| FischerGroupFi22 | 费歇尔（Fischer）散在单群  |
| FischerGroupFi23 | 费歇尔（Fischer）散在单群  |
| TitsGroupT | Tits 单群  |
一些散在群与 Leech 点格的对称性相关，它是欧几里德（Euclidean）24维空间的一个特殊点格. 这些群有时被称为"第二代"散在单群.
| In[20]:= |
| In[21]:= |
| Out[21]= |  |
| In[22]:= |
| Out[22]= |  |
例如，作用于100个点的 JankoGroupJ2 的生成元.
| In[23]:= |
| Out[23]= |  |
| In[24]:= |
| Out[24]= |  |
| In[25]:= |
| Out[25]= |  |
这是作用于2300个点的 ConwayGroupCo2 的稳定子群的链. 其基只有6个点，因此，只要知道这6个点的像就足以唯一确定群中的每个置换.
| In[26]:= |
| Out[26]= |  |
| In[27]:= |
| In[28]:= |
| Out[28]= |  |
| In[29]:= |
| Out[29]= |  |
| ONanGroupON | 欧南（O'Nan） 散在单群  |
| HaradaNortonGroupHN | 原田-诺顿（Harada-Norton）散在单群  |
| ConwayGroupCo1 | 康威（Conway）散在单群  |
| FischerGroupFi24Prime | 费歇尔（Fischer）散在单群  |
| ThompsonGroupTh | 汤普森（Thompson）散在单群  |
| JankoGroupJ4 | 詹柯（Janko）散在单群  |
| LyonsGroupLy | 里昂（Lyons）散在单群  |
| BabyMonsterGroupB | 子怪兽（baby monster）散在单群  |
| MonsterGroupM | 怪兽（Monster）群  |
| In[30]:= |
| In[32]:= |
| Out[32]= |  |
