総和および乗積の数値計算

NSum[f,{i,imin,imax}]総和 を数値近似で求める
NSum[f,{i,imin,imaxdi}]総和の数値計算において刻み幅を とする
NProduct[f,{i,imin,imax}]乗積 を数値近似で求める

数値解析による総和と乗積

を数値近似する.
In[1]:=
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Out[1]=
厳密な答が見付からないため,和はシンボル的な形で返される.
In[2]:=
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Out[2]=
それでも,Nを適用すれば数値的な答が求まる.
In[3]:=
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Out[3]=

NSumでは,まず,いくつかの項が実際に計算され,その結果をもとに残る項の寄与量が推定される.この推定を行うには2つのアプローチが取られる.その1つはオイラー・マクローリン(Euler-Maclaurin)法と呼ばれ,積分をもとに総和を推定する手法に基づいたアプローチである.2番目は,ウィン(Wynn)のイプシロン法として知られ,和の項を余分にサンプリングし,その求めた値をある指数減少関数を掛け合せた多項式にフィット処理する,という手法に基づくアプローチである.3番目のアプローチは級数の交代に有効なもので,符号交代法を用いる.この方法もまた,和の項を余分にサンプリングし,2つの多項式の比からその和を推定する(パデ近似)というものである.

オプション
デフォルト値
MethodAutomaticAutomaticあるいは
NSumTerms15和の計算に含める項数
VerifyConvergenceTrue級数の収束を証明するかどうか

NSumの特別オプション

特に評価法を上記の手法のどちらかに指定しなければ,NSumは自動的にのどちらを選択する.どちらを使うにせよ,和を求めようとする関数に特定の仮定がなされる.もし仮定した条件が実際の式に合わないと,答は間違ったものになる.

NSumは,無限大の極限を持った和を求める問題で最もよく使われる.もちろん,有限の極限を持った和にも使える.NSumでは総和を取るオブジェクトに関して特定の条件を仮定することで,Sumで必要になるような大量な関数評価を避けることが可能になる.

を外挿処理で数値計算する.
In[4]:=
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Out[4]=
今度は,代数的に和を求め,その結果を数値計算する.先の方法よりだいぶ遅いが,正確な答が見付かる.
In[5]:=
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Out[5]=

NProductは基本的にNSumと同様に機能し,オプションも同じように使う.

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