微分方程的数值解
"微分方程数值解的介绍" 中讨论的函数 NDSolve 可用以求微分方程的数值解. NDSolve 既可处理单个微分方程，又可处理联立微分方程组. 它可以处理范围很广的常微分方程以及某些偏微分方程. 在一个常微分方程系统中，可能有任意个未知函数 
，但这些函数都必须依赖于单个"独立变量" 
. 偏微分方程则包含两个或更多的独立变量. NDSolve 也可以处理混合了微分方程和代数方程的微分代数方程.
| NDSolve[{eqn1,eqn2,...},y,{x,xmin,xmax}] |
| 求在  的区间  到  上，函数  的数值解 |
| NDSolve[{eqn1,eqn2,...},{y1,y2,...},{x,xmin,xmax}] |
| 求多个函数  的数值解 |
求常微分方程的数值解.
NDSolve 将函数 
的解表示为 InterpolatingFunction 对象. 这种 InterpolatingFunction 对象提供独立变量 
从 
到 
上的 
的近似值.
NDSolve 用迭代法求解. 它从某个 
值开始，然后进行一系列的步进，最终覆盖从 
到 
的整个区域.
要进行计算，必须对 NDSolve 给定 
和其导数的适当的初始或边界条件. 这种条件指定在某个点 
处的函数值 
或者导数值 
. 一般可以在任何点 
处给定条件，至少对常微分方程如此，NDSolve 将自动覆盖区域 
到 
.
这里求在
的区间
到
上，
的数值解，初始条件为
.
| Out[1]= |  |
这里仍然求在
的区间
到
上的数值解，但是现在的初始条件为
.
| Out[2]= |  |
| Out[3]= |  |
使用 NDSolve 时，给定的初始或者边界条件必须能完全确定 
的解. 在使用 DSolve 求微分方程的符号解时，可以指定较少的初始条件. 这是因为 DSolve 自动地插入任意常数 C[i] 来表示相应于未明确指定的初始条件的自由度. 由于NDSolve 必须给出数值解，它不能表示这种附加的自由度. 因此，必须明确指出确定解所需的全部初始和边界条件.
一个典型的情形是 
阶微分方程需要给出直到 
阶导数的初始条件，或给出在 
个点处的边界条件.
| Out[4]= |  |
| Out[5]= |  |
| Out[6]= |  |
Mathematica 允许使用函数和导数值的适当的线性组合作为边界条件.
| Out[7]= |  |
在大多数情况下，给出的初始条件必须包含相同的 
值，例如 
. 因此，可以不必明确给出 
和 
两个值. 当指定 
的区域为 
时，Mathematica 将自动生成 
到 
的区域上的解.
| Out[8]= |  |
可以用方程形式给定初始条件. 这些方程可能有多个解. 在这种情况下，NDSolve 相应地生成多个解.
| Out[9]= |  |
| Out[10]= |  |
可以使用 NDSolve 求解耦合微分方程系统的解.
| Out[11]= |  |
这里画出上述解
的图形.
| Out[12]= |  |
使用上述解的
和
产生一个参数方程的图形.
| Out[13]= |  |
微分方程中的未知函数不是必须用单个符号来表示. 当未知函数的数目很多时，把它们命名为 
将是更方便的.
| Out[14]= |  |
| Out[15]= |  |
| Out[16]= |  |
NDSolve 可以处理值为列表或数组的函数. 如果给出类似 
的初始条件，那么 NDSolve 将假定 
是值为长度为 
的列表的函数.
| Out[17]= |  |
| Out[18]= |  |
NDSolve 选择.
NDSolve 有许多方法来求解方程，但是基本上所有的方法都是通过取独立变量 
的一系列步进来工作，并且使用自适应程序来决定步长的大小. 一般，如果解在某个区域中变化得很快，那么 NDSolve 将减小步长以便更好地跟踪解.
| Out[19]= |  |
| Out[20]= |  |
通过自适应程序，NDSolve 能求解具有若干个 
变化速率差别很大的分量的微分方程.
在这些方程中，
变化得比
快得多.
| Out[21]= |  |
| Out[22]= |  |
NDSolve 遵循这样的一般过程：减小步长的大小直到精确地跟踪解. 然而，当解有奇点时，会出现问题. 此时，NDSolve 可能不断地减小步长大小，而无法终止. 为了避免这个问题，选项 MaxSteps 指定 NDSolve 求解采取的最大步数. 对常微分方程，缺省设置是 MaxSteps->10000.
| Out[23]= |  |
事实上，该解在
处有一个奇点.
| Out[24]= |  |
MaxSteps 的缺省对于大多数具有光滑解的方程来说已足够了. 然而，当解有复杂的结构时，可能必须选择更大的MaxSteps 的值. 当设置为 MaxSteps->Infinity 时，使用的步数没有上限.
| Out[25]= |  |
| Out[26]= |  |
当 NDSolve 求解特定微分方程组时，它总是尽量选择适合这些方程的步长. 在有些情况下，NDSolve 采取的第一步的步长可能太大，这样可能丢失解的重要特征. 要避免这个问题，可以明确地设置选项 StartingStepSize 来指定第一步的步长.
对于 NDSolve 给出的方程不必全部涉及导数；它们也可以就是代数形式的. 用户可以使用 NDSolve 来求救许多这种类型的微分代数方程.
| Out[27]= |  |
| Out[28]= |  |
| NDSolve[{eqn1,eqn2,...},u,{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax},...] |
| 求偏微分方程的解  |
| NDSolve[{eqn1,eqn2,...},{u1,u2,...},{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax},...] |
| 求偏微分方程组的解  |
求偏微分方程的数值解.
| Out[29]= |  |
| Out[30]= |  |
| Out[31]= |  |
| Out[32]= |  |
| Out[33]= |  |
| Out[34]= |  |
| Out[35]= |  |
| Out[36]= |  |
采取的最大步数
所用的初始步长
所用的最大步长
