正交多项式

LegendreP[n,x]勒让德多项式
LegendreP[n,m,x]相关勒让德多项式
SphericalHarmonicY[l,m,,]球面调和函数
GegenbauerC[n,m,x]盖根堡多项式 C_n^((m))(x)
ChebyshevT[n,x], ChebyshevU[n,x]第一类和第二类切比雪夫多项式
HermiteH[n,x]埃尔米特多项式
LaguerreL[n,x]拉盖尔多项式
LaguerreL[n,a,x]广义拉盖尔多项式
ZernikeR[n,m,x] 泽尼克径向多项式
JacobiP[n,a,b,x]雅可比多项式

正交多项式.

勒让德多项式 LegendreP[n, x] 出现在三维球系统的研究中. 它满足微分方程 ,和正交性关系:当 时,.

相关勒让德多项式 LegendreP[n, m, x] 从勒让德多项式的导函数中得出: . 注意对奇数 包含 ,因此不是严格的多项式. 当 时, 退化到 .

球面调和函数 SphericalHarmonicY[l, m, , ] 与相关勒让德多项式联系在一起. 它们满足正交关系:当 时,,其中 代表单位球上的曲面积分.

这里给出勒让德多项式 的代数形式.
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=
根据勒让德多项式的正交性,积分 的结果为零.
In[2]:=
Click for copyable input
Out[2]=
对单个勒让德多项式的平方积分得到非零结果.
In[3]:=
Click for copyable input
Out[3]=
高次勒让德多项式快速地振荡.
In[4]:=
Click for copyable input
Out[4]=
相关勒让德"多项式"包含分式的幂.
In[5]:=
Click for copyable input
Out[5]=
"特殊函数" 节讨论勒让德多项式的推广——勒让德函数,它可能有非整数的阶次.
In[6]:=
Click for copyable input
Out[6]=

盖根堡多项式 GegenbauerC[n, m, x] 可以看作 维球对称系统的勒让德多项式的推广. 它们有时称为特种球多项式(ultraspherical polynomials).

GegenbauerC[n, 0, x] 总是等于零. GegenbauerC[n, x] 由极限 给出. 它有时被表示为 .

切比雪夫多项式级数常常用于函数的数值逼近. 第一类切比雪夫多项式 ChebyshevT[n, x] 定义. 它们被规范为 . 它们满足正交关系:当 时,. 是满足相应于 的根的 的离散点处的和式关系.

第二类切比雪夫多项式 ChebyshevU[n, z] 定义. 在此定义下,. 满足正交关系:当 时,.

名称"切比雪夫"是西里尔字母的音译;几种其它拼法,如 "Tschebyscheff",有时也被使用.

埃尔米特多项式 HermiteH[n, x] 作为谐振荡器的量子力学波出现. 它们满足微分方程 和正交关系:当 时,. 有时使用的埃尔米特多项式的一种变种是 (一个不同的规范化的 有时也被使用).

埃尔米特多项式被联系到抛物柱面函数或Weber函数 ,其关系是 .

这里给出量子力学谐振荡器激励状态的密度. 摆动的平均值约等于古典物理中的结果.
In[7]:=
Click for copyable input
Out[7]=

广义拉盖尔多项式 LaguerreL[n, a, x] 被联系到量子力学中的氢原子波函数. 它们满足微分方程 ,和正交关系:当 时,. 拉盖尔多项式 LaguerreL[n, x] 对应于 的情形.

可以得到带有任意 值的广义拉盖尔多项式.
In[8]:=
Click for copyable input
Out[8]=

泽尼克径向多项式 ZernikeR[n, m, x] 用于光学畸变的研究. 它们满足正交性关系:当 时, .     

雅可比多项式 JacobiP[n, a, b, x] 出现在循环群的研究、特别是在量子力学中. 它们满足正交关系:当 时, . 勒让德、盖根堡、切比雪夫和泽尼克多项式都能看作雅可比多项式的特殊情况. 雅可比多项式有时用另一种形式 给出.

New to Mathematica? Find your learning path »
Have a question? Ask support »